Теорема Пифагора

В 8-м классе школьной программы ученики, прежде всего, знакомятся с теоремой Пифагора — одной из самых известных теорем в геометрии, которая играет ключевую роль в изучении треугольников. Она названа в честь древнегреческого математика Пифагора и применяется для решения различных задач, связанных с прямоугольными треугольниками. В этой статье мы рассмотрим основные понятия, связанные с теоремой Пифагора, её доказательство, а также обратную теорему и примеры её применения.

Основные понятия

→ Прямоугольный треугольник: треугольник, в котором один из углов прямой (90°). Этот угол называется прямым углом.
→ Гипотенуза: сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу. Прежде всего это самая длинная сторона треугольника.
→ Катеты: две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол.

Формула теоремы Пифагора:

где a и b — длины катетов, c — длина гипотенузы.

Нахождение длины стороны: если известны длины двух сторон прямоугольного треугольника, можно найти длину гипотенузы или любого катета, используя формулу:

для гипотенузы

и для катета.

Проверка прямого угла: если в треугольнике известны все три стороны, можно проверить, является ли треугольник прямоугольным, проверяя условие:

Теорема Пифагора

Формулировка: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Формула: если a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, а c — длина гипотенузы, то 

Доказательство:

1. Построение квадрата на сторонах треугольника: построим квадрат на каждой из сторон прямоугольного треугольника. Площадь квадрата на гипотенузе будет равна c², а площади квадратов на катетах будут равны a² и b².

2. Разбиение квадрата на прямоугольники и треугольники: для доказательства теоремы Пифагора часто используется метод, основанный на разбиении и перестановке фигур. Рассмотрим квадрат, у которого стороны равны a + b. Этот квадрат можно разбить на три части: четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b, и один маленький квадрат, который находится в середине.

3. Площадь большого квадрата: площадь большого квадрата со стороной a + b равна:

4. Площадь четырёх треугольников и маленького квадрата: площадь четырёх прямоугольных треугольников с катетами a и b равна: 

плoщадь маленького квадрата рaвна c² (где c — гипотенуза).

5. Сравнение площадей: площадь большого квадрата можно выразить как сумму площадей четырёх треугольников и маленького квадрата:
Подставляя значения, получаем:

Упрощая, получаем:

Это и является доказательством теоремы Пифагора.

Выводы о сторонах и углах:

→ Гипотенуза: длина гипотенузы c всегда больше длины каждого из катетов a и b в прямоугольном треугольнике.
→ Катеты: катеты a и b являются сторонами, образующими прямой угол, и их длины влияют на величину гипотенузы.

Обратная Теорема Пифагора

Формулировка: если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то треугольник является прямоугольным.

Доказательство:

1. Исходные данные: пусть в треугольнике даны стороны a, b, c и выполнено равенство:

Нам нужно доказать, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

2. Построение квадрата на сторонах треугольника: как и в случае с доказательством прямой теоремы построим квадраты на всех трёх сторонах треугольника.

3. Использование теоремы Пифагора: согласно теореме Пифагора, если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Мы имеем равенство:

Это соответствует форме теоремы Пифагора, что и доказывает, что треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

4. Заключение: поскольку сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, это доказывает, что угол между сторонами a и b равен 90°, а следовательно, треугольник является прямоугольным.

Таким образом, обратная теорема Пифагора также доказана.

Решение задач на применение теоремы

Задача 1

Дано: прямоугольный треугольник с катетами a = 3 и b = 4.

Найти: гипотенузу c.

Решение:

Задача 2

Дано: прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 10 и катетом a = 6.

Найти: второй катет b.

Решение:

Задача 3

Дано: треугольник с длинами сторон a = 5, b = 12 и c = 13.

Проверить: является ли треугольник прямоугольным.

Решение: 

Задача 4

Дано: прямоугольный треугольник с катетами a = 7 и b = 24.

Найти: гипотенузу c и её длину в сантиметрах.

Решение:

Задача 5

Дано: прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 15 и катетом a = 9.

Найти: второй катет b и его длину в метрах.

Решение: 

Задача 6

Дано: треугольник с длинами сторон a = 8, b = 15 и c = 17.

Проверить: является ли треугольник прямоугольным.

Решение: 

---

Теорема Пифагора является основополагающим элементом в геометрии прямоугольных треугольников. Прежде всего она помогает вычислять длины сторон и решать множество задач, связанных с прямоугольными треугольниками. Знание теоремы Пифагора и её обратной теоремы значительно упрощает решение геометрических задач и является важным навыком для учеников 8-го класса.

Если ребёнок испытывает трудности в понимании теоремы Пифагора, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜

Записаться на первый бесплатный урок к опытному репетитору можно по форме ниже ⤵

🔥 Популярные статьи

➛ Как найти периметр треугольника
→ Как найти площадь треугольника
➛ Теоремы синусов и косинусов