Теорема Виета

Теорема Виета — это важный инструмент в алгебре, который позволяет находить корни квадратных уравнений без необходимости решать их традиционными методами, такими как применение формулы квадратного уравнения. С теоремой Виета ученики знакомятся в 8-м классе. Эта теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета, который сформулировал её в XVI веке. 

Основные понятия

Прежде чем мы погрузимся в теорему Виета, важно понять некоторые основные понятия, связанные с квадратными уравнениями.

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение имеет вид:

ax² + bx + c = 0,

где a, b и c — коэффициенты уравнения, и xxx — переменная.

Коэффициенты квадратного уравнения

В уравнении ax² + bx + c = 0:

1. a называется коэффициентом при x² (коэффициент второго порядка);
2. b — коэффициент при x (коэффициент первого порядка);
3. c — свободный член (коэффициент нулевого порядка).

Формула Виета

Теорема Виета утверждает, что если x₁​ и x₂​ являются корнями приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 (где a = 1), то они удовлетворяют следующим соотношениям:

1. x₁​ + x₂​= −b;
2. x₁​⋅x₂ = c.

Эти соотношения позволяют быстро найти корни уравнения, если известны коэффициенты b и c.

Доказательство теоремы Виета

Доказательство теоремы Виета можно провести, исходя из стандартной формы квадратного уравнения и его решения через дискриминант.

Шаги доказательства

1. Решим квадратное уравнение x² + bx + c = 0 через дискриминант D:

D = b² − 4c.

2. Корни уравнения будут:

3. Найдём сумму корней:

4. Найдём произведение корней:

Таким образом, мы доказали теорему Виета.

Обратная теорема Виета

Обратная теорема Виета утверждает, что если числа x₁​ и x₂удовлетворяют соотношениям:

1. x₁​ + x₂ = −b;
2. x₁​⋅x₂ = c.

то они являются корнями приведённого квадратного уравнения 

x² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета

Рассмотрим числа x₁​ и x₂​, которые удовлетворяют условиям:

x₁​ + x₂  = −b и x₁​ ⋅ x₂ = c.

1. Составим квадратное уравнение, корнями которого являются x₁​​ и x₂.

Это уравнение можно записать в виде:

(x − x₁​)(x − x₂) = 0.

2. Раскроем скобки:

x² − (x₁​ + x₂)x + x₁​x₂= 0.

3. Подставим значения из условий:

x²  − (−b)x + c = 0;

x²  + bx + c = 0.

Таким образом, мы доказали обратную теорему Виета.

Примеры решения квадратного уравнения с помощью теоремы Виета

Пример 1

Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0 с помощью теоремы Виета.

Решение:

1. Определим коэффициенты: b = −5, c = 6.
2. По теореме Виета: x₁​ + x₂ = 5, x₁​⋅x₂ = 6.
3. Ищем два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Это числа 2 и 3.

Ответ: x₁​ = 2, x₂ = 3.

Пример 2

Решите уравнение x² − 4x + 4 = 0 с помощью теоремы Виета.

Решение:

1. Определим коэффициенты: b = −4, c = 4.
2. По теореме Виета: x₁​ + x₂ = 4, x₁​⋅x₂ = 4.
3. Ищем два числа, сумма которых равна 4, а произведение — 4. Это числа 2 и 2.

Ответ: x₁​ = x₂ = 2.

Пример 3

Решите уравнение x² + 3x − 10 = 0 с помощью теоремы Виета.

Решение:

1. Определим коэффициенты: b = 3, c = −10.
2. По теореме Виета: x₁​ + x₂ = −3, x₁​⋅x₂ = −10.
3. Ищем два числа, сумма которых равна −3, а произведение −10. Это числа −5 и 2.

Ответ: x₁​ = −5, x₂ = 2.

Неприведённое квадратное уравнение

Неприведённое квадратное уравнение имеет вид:

ax²  + bx + c = 0,

где a ≠ 1.

Для решения неприведённых квадратных уравнений с помощью теоремы Виета применяются те же принципы, что и для приведённых уравнений, но с учётом коэффициента a.

Решение неприведённых квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

Решите уравнение 2x² − 8x + 6 = 0 с помощью теоремы Виета.

Решение:

1. Приведём уравнение к стандартной форме: 

x² − 4x + 3 = 0 путём деления всех коэффициентов на 2.

2. По теореме Виета для уравнения x² − 4x + 3 = 0: x₁​ + x₂ = 4, x₁​⋅x₂ = 3.

3. Ищем два числа, сумма которых равна 4, а произведение — 3. Это числа 1 и 3.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = 3.

---

Теорема Виета является мощным инструментом для решения квадратных уравнений, как приведённых, так и неприведённых. Применяя её, можно значительно упростить процесс нахождения корней уравнений, избегая сложных вычислений, связанных с дискриминантом. Основные принципы теоремы Виета и её обратной теоремы позволяют легко находить сумму и произведение корней, что делает её незаменимой в школьной алгебре.

Если ребёнок испытывает трудности в применении теоремы Виета, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите на занятия к репетиторам нашей платформы! Первый урок — бесплатный 💜