Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов — это одна из важнейших операций в геометрии и физике, изучаемая в 9-м классе. Cкалярное произведение векторов позволяет определить взаимосвязь между двумя векторами, вычислить угол между ними и решать задачи, связанные с проекциями и работой силы. В этой статье мы рассмотрим основные определения, свойства скалярного произведения, его вычисление через координаты, а также научимся решать задачи на эту тему.

Основные определения

Вектор — это направленный отрезок, который имеет длину (модуль) и направление.

Коллинеарные векторы — векторы, лежащие на одной прямой или параллельных прямых.

Перпендикулярные векторы — векторы, угол между которыми равен 90°.

Угол между векторами

Угол между двумя векторами — это угол ϕ, образованный этими векторами при их откладывании от одной точки. Он всегда принимает значения в диапазоне 0° ≤ ϕ ≤ 180°.

Если векторы коллинеарны:

1. ϕ = 0°, если они сонаправлены;
2. ϕ = 180°, если они противоположно направлены.

Если векторы перпендикулярны:

1. ϕ = 90°.

Cкалярное произведение векторов

📌 Геометрический смысл

Скалярное произведение показывает, насколько векторы «сонаправлены». Если cosϕ  > 0, то векторы образуют острый угол; если cosϕ < 0, то тупой угол; а если cosϕ = 0, то векторы перпендикулярны.

📌 Физический смысл

Скалярное произведение в координатах

Если векторы заданы своими координатами:

то скалярное произведение вычисляется по формуле:

Пример:

Свойства скалярного произведения векторов

1️⃣ Коммутативность

Cкалярное произведение коммутативно, то есть порядок векторов не влияет на результат:

2️⃣ Дистрибутивность относительно сложения векторов

Cкалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

3️⃣ Сочетательность относительно умножения на число

Если один из векторов умножается на число k, то скалярное произведение умножается на это же число:

4️⃣ Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю

Если два вектора перпендикулярны (ϕ = 90°), то их скалярное произведение равно нулю.

5️⃣ Скалярное произведение коллинеарных векторов

Если векторы коллинеарны, то их скалярное произведение равно произведению модулей векторов (если они сонаправлены) или произведению модулей с минусом (если они противоположно направлены):

6️⃣ Скалярное произведение вектора самого на себя

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

7️⃣ Алгебраические свойства

1. Скалярное произведение всегда является числом (скаляром).
2. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то их скалярное произведение равно нулю.

Решение задач на скалярное произведение векторов

Задача 1

Решение:

1. Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

2. Теперь найдём модули векторов, чтобы использовать их в формуле для косинуса угла:

3. Подставим значения в формулу для косинуса угла:

4. Вычислим сам угол ϕ, используя обратную функцию косинуса:

Задача 2

Решение:

1. Вычислим cкалярное произведение этих векторов:

2. Поскольку скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Это означает, что они образуют прямой угол.

Задача 3

1. Работа силы — это физическая величина, которая показывает, какую энергию затрачивает сила при перемещении тела. Она вычисляется как скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения. Это действие помогает понять, насколько эффективно сила действует в направлении движения.

3. Таким образом, работа силы равна 15. Это значение показывает, сколько энергии было затрачено на перемещение тела.

Cкалярное произведение векторов — это мощный инструмент, позволяющий решать задачи, связанные с углами, проекциями и физическими величинами. Мы рассмотрели основные определения, свойства, формулы для вычисления скалярного произведения, а также решили несколько задач. Эти знания помогут ученикам 9-го класса лучше понять геометрию и подготовиться к изучению более сложных тем.

Если ребёнок испытывает трудности в работе со скалярным произведением векторов, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия!