Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

В 7-м классе на уроках математики ученики знакомятся с различными типами треугольников и их свойствами. Одним из наиболее интересных видов треугольников является равнобедренный треугольник. Он обладает уникальными характеристиками, которые отличают его от других типов. В данной статье мы рассмотрим определение равнобедренного треугольника, его элементы, признаки и свойства, а также решим несколько задач, связанных с этой темой.

Равнобедренный треугольник: определение

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Стороны равнобедренного треугольника, которые равны, называются боковыми, а третья сторона, которая отличается по длине, называется основанием. Это определение является основным, и на его основе строятся все дальнейшие рассуждения о равнобедренном треугольнике.

Элементы равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике выделяются несколько ключевых элементов:

1. Стороны: как было упомянуто, у равнобедренного треугольника есть две равные боковые стороны и одна сторона основания. Обозначим треугольник как ABC, где

AB = AC — боковые стороны, а BC — основание.

2. Углы: углы, прилегающие к основанию, называются углами равнобедренного треугольника при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол при вершине обозначается как ∠A.

3. Высота: высота равнобедренного треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины на основание. Высота делит основание пополам, создавая два прямоугольных треугольника.

4. Биссектрисы: биссектрисой равнобедренного треугольника называется отрезок, который делит угол пополам и соединяет вершину треугольника с противоположной стороной. В равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведённые из угла при вершине, совпадают с высотой и медианой.

5. Медианы: медианой равнобедренного треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины, совпадает с высотой и биссектрисой.

Равнобедренный треугольник и высота

Высота равнобедренного треугольника имеет свои особенности. Поскольку высота опускается из вершины на основание, она делит основание пополам. Это позволяет нам утверждать, что высота равнобедренного треугольника является не только перпендикуляром, но и медианой. Таким образом, если h — высота, а BC — основание, то:

где AB — длина боковой стороны.

Биссектриса равнобедренного треугольника

Биссектрису равнобедренного треугольника также можно рассматривать как важный элемент. Она делит угол при вершине на два равных угла. Если мы обозначим угол при вершине как ∠A, то углы при основании равнобедренного треугольника составят:

Признаки равнобедренного треугольника

Существует несколько признаков, по которым можно определить, является ли треугольник равнобедренным:

1. Два угла равны: если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный.
2. Две стороны равны: если в треугольнике две стороны равны, то углы, противолежащие этим сторонам, также равны.
3. Углы при основании: если известны углы при основании и они равны, то треугольник равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник обладает рядом свойств.

1. Равенство углов при основании: как уже упоминалось, углы при основании равны.
2. Высота, биссектрисы и медианы совпадают: высота, проведенная из вершины, также является биссектрисой и медианой, что делает равнобедренный треугольник симметричным относительно этой высоты.

3. Периметр: периметр равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле:
P = 2a + b,

где a — длина боковой стороны, а b — длина основания.

4. Площадь: площадь равнобедренного треугольника может быть найдена по формуле:

где b — основание, а h — высота.

Равнобедренный треугольник: решение задач на его признаки и свойства

Решение задач, связанных с равнобедренными треугольниками, может включать в себя использование его свойств и признаков. 

Задача 1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 40°.

Решение. Используя свойство, что сумма углов треугольника равна 180°, найдём углы при основании:

Задача 2. Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 10 см и высотой 6 см.

Решение. Подставим известные значения в формулу для площади:

Задача 3. В равнобедренном треугольнике периметр составляет: P = 30 см, а основание BC = 10 см. Найдите длину боковой стороны AB.

Решение. В равнобедренном треугольники боковые стороны равны, поэтому:

P = 2 ⋅ AB + BC ⟹ 30 = 2 ⋅ AB + 10 ⟹ 20 = 2 ⋅ AB ⟹ AB = 10 см.

Равнобедренный треугольник — это интересная и важная тема в геометрии, которая помогает развивать пространственное мышление и аналитические способности. Изучение его свойств и признаков позволяет решать разнообразные задачи, что делает процесс обучения увлекательным. 

Если ребёнок испытывает трудности при работе с равнобедренным треугольником, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия! Первый урок с опытным репетитором — бесплатный 💜