Признаки делимости чисел

Признаки делимости чисел и их понимание является ключевым элементом в математике в 5–6-х классах, особенно при выполнении операций деления и упрощении дробей. Знание этих признаков помогает быстро определять, на какие числа делится заданное число, и облегчает решение математических задач.

Понятие делимости

Делимость числа a на число b означает, что при делении числа a на b остаток равен нулю. Иными словами, a делится на b без остатка, если a можно выразить в виде a = b ∙ k, где k — целое число.

Свойства делимости чисел

1. При делении на единицу результатом всегда является само число:

a : 1 = a.

Примеры:

1. 7 : 1 = 7.
2. 45 : 1 = 45.

2. На ноль делить нельзя.

3. При делении нуля на любое ненулевое число результат всегда ноль:

0 : a = 0.

Примеры:

1. 1: 0 : 5 = 0.
2. 0 : 9 = 0.

4. При делении числа на само себя результат всегда равен единице:

a : a = 1.

1. 8 : 8 = 1.
2. 25 : 25 = 1.

5. При делении суммы на какое-либо число можно разделить на него каждое слагаемое и сложить полученные результаты: 

(a + b) : c = a : c + b : c.

1. (8 + 12) : 4 = 8 : 4 + 12 : 4 = 2 + 3 = 5.
2. (15 + 10) : 5 = 15 : 5 + 10 : 5 = 3 + 2 = 5.

6. При делении разности на какое-либо число можно разделить на него уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого частного вычесть второе: 

(a — b) : c = a : c — b : c.

Примеры:

1. (10 — 4) : 2 = 10 : 2 − 4 : 2 = 5 — 2 = 3.
2. (18 — 6) : 6 = 18 : 6 — 6 : 6 = 3 — 1 = 2.

7. При делении произведения двух множителей на число можно разделить на него любой из множителей и частное умножить на второй множитель: 

(a ∙ b) : c = (a : c) ∙ b = a ∙ (b : c).

Примеры:

1. (6 ∙ 4) : 3 = (6 : 3) ∙ 4 = 2 ∙ 4 = 8.
2. (12 ∙ 5) : 4 = (12 : 4) ∙ 5 = 3 ∙ 5 = 15.

8. При делении разности чисел на число результат можно найти как разность частных:

(a — b) : c = a : c — b : c.

Примеры:

1. (20 — 5) : 5  = 20 : 5 — 5 : 5 = 4 — 1 = 3.
2. (15 — 6) : 3 = 15 : 3 — 6 : 3 = 5 — 2 = 3.

Признаки делимости: чётные и нечётные числа

➤ Чётные числа: делятся на 2. Например: 2, 4, 6, 8, 10.

➤ Нечётные числа: не делятся на 2. Например: 1, 3, 5, 7, 9.

Признак делимости на 1

Любое число делится на 1, так как при делении любого числа a на 1 результатом всегда будет само число a: a : 1 = a.

1. 7 : 1 = 7.
2. 45 : 1 = 45.

Признaк делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра является чётным числом (0, 2, 4, 6, 8):

1. 34 делится на 2, так как последняя цифра 4.
2. 82 делится на 2, так как последняя цифра 2.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3:

1. Число 123. Сумма цифр 1 + 2 + 3 = 6, а 6 делится на 3.
2. Число 456. Сумма цифр 4 + 5 + 6 = 15, а 15 делится на 3.

Признaк делимости на 4

Число делится на 4, если его последние две цифры формируют число, которое делится на 4:

1. 312. Последние две цифры 12 делятся на 4.
2. 1,216. Последние две цифры 16 делятся на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5:

1. 75 делится на 5, так как последняя цифра 5.
2. 130 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3:

1. 54 делится на 6, так как 54 делится и на 2, и на 3.
2. 84 делится на 6, так как 84 делится и на 2, и на 3.

Признак делимости на 7

Число делится на 7, если разность числа, образованного удалением последней цифры, и удвоенной последней цифры делится на 7:

1. 343. Удаляем последнюю цифру 3, получаем 34, и разность 34 — 2 ∙ 3 = 28, а 28 делится на 7.
2. 728. Удаляем последнюю цифру 8, получаем 72, и разность 72 — 2 ∙ 8 = 56, а 56 делится на 7.

Признaк делимости на 8

Число делится на 8, если его последние три цифры формируют число, которое делится на 8:

1. 1,232. Последние три цифры 232 делятся на 8.
2. 4,096. Последние три цифры 096 делятся на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9:

1. 234. Сумма цифр 2 + 3 + 4 = 9, а 9 делится на 9.
2. 486. Сумма цифр 4 + 8 + 6 = 18, а 18 делится на 9.

Пpизнак делимости на 10

Число делится на 10, если его последняя цифра является нулём:

1. 240 делится на 10, так как последняя цифра 0.
2. 370 делится на 10, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11:

1. 2 728. Разность (2 + 2) — (7 + 8) = 4 — 15 = -11, а -11 делится на 11.
2. 121. Разность (1 + 1) — 2 = 2 — 2 = 0, а 0 делится на 11.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если его последние две цифры формируют число, которое делится на 25:

1. 325. Последние две цифры 25 делятся на 25.
2. 1,075. Последние две цифры 75 не делятся на 25, но число 1,075 делится на 25.

Признаки делимости чисел: практика применения

Задача 1. Определите, на какие из следующих чисел делится 468: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25.

Решение:

1. 468 делится на 2 (последняя цифра 8).
2. 468 делится на 3 (сумма цифр 4 + 6 + 8 = 18).
3. 468 делится на 4 (последние две цифры 68 делятся на 4).
4. 468 не делится на 5 (последняя цифра не 0 или 5).
5. 468 делится на 6 (делится на 2 и 3).
6. 468 делится на 8 (последние три цифры 468 делятся на 8).
7. 468 делится на 9 (сумма цифр 18 делится на 9).
8. 468 не делится на 10 (последняя цифра не 0).
9. 468 делится на 11 (разность 4 — 6 + 8 = 6 не делится на 11).
10. 468 не делится на 25 (последние две цифры 68 не делятся на 25).

Задача 2. Определите, делится ли число 1,125 на 9 и 25.

Решение:

1. 1,125 делится на 9 (сумма цифр 1 + 1 + 2 + 5 = 9).
2. 1,125 делится на 25 (последние две цифры 25 делятся на 25).

---

Если вы знаете и используете признаки делимости чисел — это помогает быстро определить, делится ли данное число на конкретное число без проведения полного деления. А также облегчает решение математических задач и упрощает работу с дробями и другими математическими выражениями.

Если ребёнок испытывает трудности и не может запомнить признаки делимости чисел, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜