Параллелограмм: свойства и признаки

В школьной программе изучение параллелограммов начинается в 7-ом классе. Параллелограмм — это важная геометрическая фигура, обладающая множеством полезных свойств и признаков, которые делают его изучение важным для понимания геометрии в целом. В этой статье мы подробно разберём определение параллелограмма, его свойства и признаки, а также научимся вычислять его площадь и периметр. 

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Это значит, что каждая пара противоположных сторон параллелограмма никогда не пересекается, как бы далеко они ни были продолжены. Если у четырёхугольника стороны равны, а противоположные стороны параллельны, то перед нами параллелограмм.

Частными случаями параллелограмма являются: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагональ параллелограмма и её свойства 

Диагонали параллелограмма — это отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма. Если обозначить вершины параллелограмма буквами A, B, C и D, то диагоналями будут отрезки AC и BD.

Свойства диагоналей параллелограмма

1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что точка пересечения диагоналей является их серединой. Если O — точка пересечения диагоналей AC и BD, то O делит диагонали пополам, то есть AO = OC и BO = OD.

Доказательство: рассмотрим параллелограмм ABCD и его диагонали AC и BD, пересекающиеся в точке O.

В треугольниках △AOB и △COD:

1. Углы ∠AOB и ∠COD вертикальные, следовательно, равны.
2. ∠OAB и ∠OCD равны, так как это соответствующие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.
3. ∠OBA и ∠ODC равны, так как это соответствующие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BD.

Следовательно, треугольники △AOB и △COD подобны по двум углам и стороне между ними. Поэтому AO = OC и BO = OD.

2. Диагонали параллелограмма делят его на четыре треугольника, каждый из которых равен и равновелик.

Доказательство:

1. Рассмотрим параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O. 
2. Треугольники △AOB, △BOC, △COD, и △DOA имеют одинаковую площадь, так как они имеют общую высоту, проведённую из вершины параллелограмма к основанию (диагонали), и одинаковое основание (полу-диагональ).

Следовательно, треугольники △AOB, △BOC, △COD, и △DOA равновелики.

3. В прямоугольнике (частном случае параллелограмма) диагонали равны. Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны по длине.

Доказательство: рассмотрим прямоугольник ABCD.

В прямоугольнике углы прямые, поэтому:

1. △AOB и △BOC являются прямоугольными треугольниками с равными катетами AO и OC.
2. Из теоремы Пифагора следует, что гипотенузы AC и BD равны.

4. В ромбе (другом частном случае параллелограмма) диагонали перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Доказательство: рассмотрим ромб ABCD с диагоналями AC и BD, пересекающимися в точке O.

1. В ромбе все стороны равны.
2. Диагонали пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами противоположных углов, деля углы на две равные части.

Биссектриса угла параллелограмма и её свойства 

Биссектрисой угла параллелограмма называется отрезок, который делит угол параллелограмма на две равные части. Она проходит от вершины угла к противоположной стороне или её продолжению, разделяя угол на два равных угла.

Свойства биссектрис углов параллелограмма

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Если рассмотреть параллелограмм ABCD и провести биссектрису угла A, то она отсекает треугольник ABE, где E — точка пересечения биссектрисы с противоположной стороной BC. В таком треугольнике ABE стороны AE и BE равны, то есть треугольник является равнобедренным.

Доказательство: рассмотрим биссектрису угла A параллелограмма ABCD, которая пересекает сторону BC в точке E.

1. В треугольнике △ABE углы ∠BAE и ∠AEB равны, так как это углы, образованные биссектрисой.
2. Следовательно, △ABE является равнобедренным треугольником с AE = BE.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, пересекаются под прямым углом. Биссектрисы углов A и B, прилежащих к стороне AB, пересекаются под прямым углом.

Доказательство: рассмотрим биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD.

Пусть биссектрисы пересекаются в точке O:

1. Углы A и B в сумме равны 180° (смежные углы).
2. Биссектрисы делят эти углы на половины, то есть каждый угол равен 90°.
3. Следовательно, биссектрисы пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны. Отрезки биссектрис противоположных углов параллелограмма равны и параллельны между собой.

Доказательство: рассмотрим биссектрисы углов A и C параллелограмма ABCD, которые пересекаются в точках E и F соответственно.

Отрезки AE и CF равны и параллельны, так как диагонали параллелограмма делят его на равные части и биссектрисы делят углы на равные части. Таким образом, AE = CF и они параллельны.

Как найти площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно вычислить несколькими способами:

1. Через основание и высоту: формула площади параллелограмма выглядит так: S = a ⋅ h, где a — основание параллелограмма, а h — высота, опущенная на это основание.

2. Через стороны и угол: формула площади параллелограмма через стороны и угол между ними: S = a ⋅ b ⋅ sin⁡(α), где a и b — длины сторон параллелограмма, а α — угол между ними.

Как найти периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма рассчитывается просто: P = 2a + 2b, где a и b — длины противоположных сторон параллелограмма.

Свойства параллелограмма и их доказательства

1. Противоположные стороны параллелограмма равны

Свойство: если ABCD — параллелограмм, то AB = DC и BC = AD.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD по определению противоположные стороны параллельны: AB || DC и AD || BC.
2. Рассмотрим пары углов: ∠DAB и ∠BCD. Эти углы накрест лежащие, следовательно, ∠DAB = ∠BCD.
3. Треугольники △ABD и △DCB имеют общую сторону BD.
4. В треугольниках △ABD и △DCB: ∠DAB = ∠BCD (углы накрест лежащие), ∠ADB = ∠CBD (углы накрест лежащие), BD = BD (общая сторона).
5. По первому признаку равенства треугольников (по двум углам и стороне между ними) треугольники равны: △ABD ≅ △DCB.
6. Следовательно, AB = DC и AD = BC.

2. Противоположные углы параллелограмма равны

Свойство: если ABCD — параллелограмм, то ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD стороны AB || DC и AD || BC.
2. Рассмотрим углы: ∠A и ∠C являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении параллельных сторон AB и DC диагональю AC.
3. Следовательно, ∠A = ∠C.
4. Аналогично, ∠B и ∠D также являются внутренними накрест лежащими углами при пересечении параллельных сторон AD и BC диагональю BD.
5. Следовательно, ∠B = ∠D.

3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам

Свойство: если ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC ∩ BD = O, то BO = OD и AO = OC.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. Рассмотрим треугольники △AOB и △COD: AB || DC и AD || BC, следовательно, углы ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠DCO (накрест лежащие углы).
3. Эти треугольники равны по признаку равенства по двум углам и общей стороне (AO = OC и BO = OD).

4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника

Свойство: если ABCD — параллелограмм, и AC — диагональ, то △ABC = △CDA.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD диагональ AC делит его на два треугольника: △ABC и △CDA.
2. У треугольников △ABC и △CDA общая сторона AC, а противоположные стороны AB и CD, BC и AD равны, так как это стороны параллелограмма.
3. Углы при вершинах A и C равны (накрест лежащие).
4. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам: △ABC ≅ △CDA.

5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.

Свойство: если ABCD — параллелограмм, то ∠A + ∠D = 180°.

Доказательство:

1. В параллелограмме ABCD стороны AB || DC и AD || BC.
2. Рассмотрим углы ∠A и ∠D. Эти углы являются односторонними внутренними углами при пересечении параллельных сторон AB и DC прямой AD.
3. По свойству параллельных линий сумма односторонних внутренних углов равна 180°.
4. Следовательно, ∠A + ∠D = 180°.

Признаки параллелограмма и их доказательства

1. Если в четырёхугольнике сумма любых двух соседних углов равна 180°, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Формулировка: если в четырёхугольнике ABCD сумма любых двух соседних углов равна 180°, то ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть ∠A, ∠B, ∠C, и ∠D — углы четырёхугольника ABCD, и дано, что ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°.
2. Мы знаем, что сумма всех углов в любом четырёхугольнике равна 360°: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
3. Если ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°, то: (∠A + ∠B) + (∠C + ∠D) = 360°.
4. Это означает, что углы ∠A и ∠C являются односторонними углами, а ∠B и ∠D также односторонними. Следовательно, ABCD — параллелограмм по определению.

2. Если в четырёхугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Формулировка: если в четырёхугольнике ABCD противоположные углы попарно равны, то ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть ∠A = ∠C и ∠B = ∠D.
2. Мы знаем, что сумма углов в любом четырёхугольнике равна 360°: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
3. Подставим известные углы: ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 2(∠A + ∠B) = 360°.
4. Следовательно: ∠A + ∠B = 180° и ∠C + ∠D = 180°.
5. Таким образом, ∠A и ∠C являются односторонними углами, а ∠B и ∠D тоже односторонними. Это доказывает, что ABCD — параллелограмм.

3. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Формулировка: если в четырёхугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны (AB = CD и BC = AD), то ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны AB = CD и BC = AD.
2. Рассмотрим треугольники △ABD и △CDB: стороны AB = CD и BC = AD по условию, сторона BD общая.
3. По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними): △ABD ≅ △CDB.
4. Это означает, что углы ∠A и ∠C равны, а также ∠B и ∠D.
5. Таким образом, в ABCD противоположные углы равны, и сумма смежных углов равна 180°. Это доказывает, что ABCD — параллелограмм.

4. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Формулировка: если в четырёхугольнике ABCD две стороны равны и параллельны (AB = CD и AB || CD), то ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть AB = CD и AB || CD.
2. Мы знаем, что если две стороны параллельны, то противоположные стороны также параллельны. Поскольку AB || CD, то и AD || BC по свойству параллельных прямых.
3. Если AB || CD и AD || BC, то ABCD является параллелограммом по определению.

5. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Формулировка: если в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам (AO = OC и BO = OD), то ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O и делятся пополам (AO = OC и BO = OD).
2. Рассмотрим треугольники △AOB и △COD: стороны AO = OC и BO = OD по условию, стороны AB и CD являются параллельными, так как углы ∠AOB и ∠COD равны.
3. Поскольку стороны и углы равны, треугольники △AOB и △COD равны по первому признаку равенства (две стороны и угол между ними).
4. Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника ABCD равны и параллельны, а также противоположные углы равны, что доказывает, что ABCD является параллелограммом.

Решение задач

Рассмотрим несколько примеров задач на нахождение различных параметров параллелограмма.

Пример 1. Дан параллелограмм ABCD с длинами сторон AB = 8 см и AD = 6 см . Найдите его периметр. 

Решение: периметр параллелограмма P можно найти по формуле: P = 2a + 2b. Подставим значения: P = 2 ∙ 8 см + 2 ∙ 6 см = 16 см + 12 см = 28 см.

Ответ: периметр параллелограмма ABCD равен 28 см.

Пример 2. В параллелограмме EFGH длины сторон EF = 5 см и EH = 7 см, угол ∠E = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 

Решение: площадь параллелограмма S можно найти по формуле: S = a ⋅ b ⋅ sin⁡(α).

Подставим значения: 

Ответ: площадь параллелограмма EFGH равна 17.5√3 см².

Пример 3. В параллелограмме KLMN диагонали пересекаются в точке O. Длины диагоналей KM = 10 см и LN = 14 см. Найдите длину отрезков KO и LO. 

Решение: диагонали параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам, поэтому: KO = KM : 2 = 10 см : 2 = 5 см; LO = LN : 2 = 14 см : 2 = 7 см.

Ответ: длина отрезков KO и LO равны 5 см и 7 см, соответственно.

Пример 4. В параллелограмме PQRS сторона PQ = 9 см, а высота, опущенная на сторону PQ, равна 4 см. Найдите площадь параллелограмма. 

Решение: площадь параллелограмма S можно найти по формуле: 

S = a ⋅ h. Подставим значения: S = 9 см ⋅ 4 см = 36 см².

Ответ: площадь параллелограмма PQRS равна 36 см².

Итак, мы узнали:

1. Параллелограмм — важная геометрическая фигура, обладающая множеством полезных свойств и признаков.
2. Изучение параллелограммов помогает ученикам 7–8 классов лучше понять основы геометрии и подготовиться к более сложным задачам.

Если ребёнок испытывает трудности в работе с параллелограммами, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜