Одночлены и многочлены

В данной статье расскажем, что такое одночлены и многочлены, какие операции над ними можно производить.

Одночлены

Одночлен — это алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя на одну или несколько переменных, каждая из которых взята в натуральной степени.

Притом одночлен находится в стандартном виде, если сперва записан числовой множитель, а далее буквенная часть, где произведение одинаковых степеней переменных представлено в виде одной степени.

Примеры одночленов: 3, 3x, 3xy, 3xy², 3x²yz³.

Подобные слагаемые — это одночлены, у которых буквенная часть одинакова. Примеры подобных одночленов: 10xy² и 7xy²; x и 18x.

Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех его переменных.

Многочлены

Многочлен — это сумма или разность нескольких одночленов.

Многочлен находится в стандартном виде, если не содержит подобных слагаемых и каждый его член — это одночлен в стандартном виде.

Примеры многочленов: 15x + 4 — xy; 8 + z; — x — x²; 4y³ — z⁴ + 1.

Степень многочлена — это наибольшая из степеней всех входящих в него одночленов.

Умножение одночлена на одночлен

Чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо перемножить отдельно их числовые множители, отдельно переменные с одинаковым основанием.

Пример: 5xy * 2x= 5 * 2x * xy=10x²y

Умножение одночлена на многочлен

Одночлены и многочлены можно перемножать. Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить этот одночлен на каждое из слагаемых многочлена.

Пример: 3y(12xy²-3x+2) = 3y * 12xy²- 3y * 3x + 3y * 2 = 36xy³ — 9xy + 6y.

Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждое слагаемое первого многочлена умножить на каждое слагаемое второго многочлена.

Пример: (8z-4) * (3x+z) = 8z * 3x + 8z * z — 4 * 3x — 4 * z = 24zx + 8z² — 12x — 4z.

Сложение и вычитание многочленов

Научимся производить сложение и вычитание многочленов. 

1. При сложении многочленов необходимо записать их сумму и привести подобные слагаемые, если есть такая возможность.

Например: нужно сложить многочлены x² — 3x + xy + 1  и  2y² + 4x + 2xy.

Запишем их сумму: x² — 3x + xy + 1 + 2y² + 4x + 2xy.

Приведём подобные и останется: x² + x + 3xy + 1 + 2y².

2. При вычитании многочленов необходимо записать разность многочленов, при этом учесть раскрытие скобки со знаком перед ней.

Например: нужно вычесть многочлены x² — 3x + xy + 1 и 2y² + 4x + 2xy.

Запишем их разность:  x² — 3x + xy + 1 — (2y² + 4x + 2xy)=x² — 3x + xy + 1 — 2y² — 4x — 2xy.

После приведения подобных получим: x² — 7x — xy + 1 — 2y².

Читайте также: Как найти площадь треугольника