Решение простых линейных уравнений

Линейные уравнения — это важнейший раздел алгебры, который изучается в 7-м классе. Они являются основой для понимания более сложных математических задач и уравнений. Линейные уравнения помогают решать задачи, связанные с нахождением неизвестных величин, и широко применяются в физике, экономике и других науках. Например, с их помощью можно рассчитать время движения при заданной скорости или определить количество товаров, необходимых для выполнения заказа. 

В этой статье мы подробно разберём, что такое уравнение, какие виды уравнений существуют, как решать простые линейные уравнения, а также рассмотрим множество примеров для закрепления материала.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором одна или несколько величин неизвестны. Задача состоит в том, чтобы найти значения этих неизвестных, которые делают равенство верным. Например, выражение 2 + 4 = 6 является верным числовым равенством, так как обе части равны. Однако если записать 2 + x = 6, то переменная x становится неизвестной, значение которой нужно найти.

Корень уравнения — это число, которое при подстановке на место неизвестной обращает уравнение в верное числовое равенство. Например, корнем уравнения 2 + x = 6 является x = 4, так как 2 + 4 = 6.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет. Если уравнение имеет несколько переменных, то решением будет набор значений, обращающих уравнение в верное равенство.

Пример:

1. Уравнение x − 3 = 5 имеет один корень: x = 8.
2. Уравнение 0x = 1 не имеет корней, так как 0 ⋅ x всегда равно нулю, и равенство 0 = 1 невозможно.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения можно классифицировать по степени сложности и типу.

1. Линейные уравнения
Это уравнения, в которых переменные находятся в первой степени и отсутствуют произведения переменных или их корней. Общий вид линейного уравнения: ax+b=0, где a и b — действительные числа.

1. Если a ≠ 0, уравнение имеет единственный корень: x = −a/b.​
2. Если a = 0, уравнение не имеет корней (если b ≠ 0) или имеет бесконечно много решений (если b = 0).

Пример: уравнение 2x + 4 = 10 является линейным. Его решение: 2x = 10 − 4, 2x = 6, x = 3.

2. Квадратные уравнения
Это уравнения вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Их решение требует применения специальных формул, таких как дискриминант. Квадратные уравнения изучаются в 8-м классе.

3. Другие виды уравнений
Существуют также тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, которые изучаются в старших классах.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать линейные уравнения, необходимо запомнить два основных правила и алгоритм решения.

1. Правило переноса

При переносе члена уравнения из одной части в другую его знак меняется на противоположный. Это правило основано на свойстве равенства: если к обеим частям уравнения прибавить или вычесть одно и то же число, равенство сохранится.

Пример: x + 3 = 5.

Перенесём 3 из левой части в правую:

x = 5 − 3.

x = 2.

Ответ: x = 2.

2. Правило деления

Обе части уравнения можно разделить на одно и то же число, чтобы упростить его. Деление обеих частей уравнения на одно и то же число также сохраняет равенство, если это число не равно нулю.

Пример: 4x = 8.

Разделим обе части на 4:

4x : 4 = 8 : 4

x = 2.

Ответ: x = 2.

Алгоритм решения простого линейного уравнения

1️⃣ Раскрыть скобки, если они есть. Для этого используйте распределительное свойство умножения: a(b + c) = ab + ac.

2️⃣ Перенести все члены с неизвестной в одну часть уравнения, а свободные члены — в другую.

3️⃣ Привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, 3x и 5x — подобные, а 3x и 5y — нет.

4️⃣ Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестной.

Примеры решения уравнений

Пример 1

6x + 1 = 19.

Перенесём 1 в правую часть: 6x = 19 − 1.

Выполним вычитание: 6x = 18.

Разделим обе части на 6: x = 18 : 6.

Вычислим: x = 3.

Ответ: x = 3.

Пример 2

5(x−3) + 2 = 3(x−4) + 2x − 1.

Раскроем скобки: 5x − 15 + 2 = 3x − 12 + 2x − 1.

Сгруппируем члены с x в левой части, а свободные члены — в правой: 5x − 3 x− 2x = −12 − 1 + 15 − 2.

Приведём подобные слагаемые: 0x = 0.

Ответ: x — любое число.

Пример 3

4(x+2) = 6 − 7x.

Раскроем скобки: 4x + 8 = 6 − 7x.

Перенесём 7x в левую часть, а 8 — в правую: 4x + 7x = 6 − 8.

Приведём подобные слагаемые: 11x = −2.

Разделим обе части на 11: x = −2/11.

Ответ: x = −2/11.

Пример 4

x + 7 = x + 4.

Перенесём x из правой части в левую: x − x = 4 − 7.

Приведём подобные слагаемые: 0x = −3.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Пример 5

3x − 5 = 2x + 10.

Перенесём 2x в левую часть, а −5 — в правую: 3x − 2x = 10 + 5.

Приведём подобные слагаемые: x = 15.

Ответ: x = 15.

Пример 6

7x + 3 = 7x − 5.

Перенесём 7x из правой части в левую: 7x − 7x = −5 − 3.

Приведём подобные слагаемые: 0x = −8.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Пример 7

2(3x−4) = 6x − 8.

Раскроем скобки: 6x − 8 = 6x − 8.

Перенесём 6x из правой части в левую, а −8 — в правую: 6x−6x=−8+8.

Приведём подобные слагаемые: 0x = 0.

Ответ: x — любое число.

Пример 8

5x − 10 = 3x + 6.

Перенесём 3x в левую часть, а −10 — в правую: 5x − 3x = 6+10.

Приведём подобные слагаемые: 2x = 16.

Разделим обе части на 2: x = 16 : 2.

Вычислим: x = 8.

Ответ: x = 8.

---

Линейные уравнения — это основа алгебры, которая позволяет решать задачи с неизвестными величинами. Мы разобрали их определение, виды, правила решения и привели множество примеров. Эти знания помогут вам уверенно работать с уравнениями и подготовиться к более сложным темам в математике.

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к нашим репетиторам!