Единичная окружность в тригонометрии

Единичная окружность — это важнейший инструмент в тригонометрии, который помогает наглядно понять и решать задачи, связанные с углами, тригонометрическими функциями и их свойствами. Она используется для изучения синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, а также для решения уравнений и неравенств. Тема единичной окружности изучается в 9-10-х классах и является фундаментальной для понимания тригонометрии.

В этой статье мы подробно разберём, что такое единичная окружность, как она применяется в тригонометрии, и научимся решать задачи с её помощью.

Единичная окружность в тригонометрии

Для понимания единичной окружности необходимо разобрать несколько определений.

📎 Прямоугольная система координат (декартова система координат) — это система, состоящая из двух взаимно перпендикулярных осей: Ox (ось абсцисс) и Oy (ось ординат). Точка пересечения осей называется началом координат (O(0,0)). Каждая точка на плоскости задается парой чисел (x,y), где:

1. x — расстояние от точки до оси Oy (абсцисса);
2. y — расстояние от точки до оси Ox (ордината).

📎 Свойства системы координат

Оси делят плоскость на четыре четверти (квадранта):

1. I четверть: x > 0, y > 0;
2. II четверть: x < 0, y > 0;
3. III четверть: x < 0, y < 0;
4. IV четверть: x > 0, y < 0.

📎 Радиан — это единица измерения углов, которая показывает отношение длины дуги окружности к её радиусу. Один радиан равен углу, при котором длина дуги равна радиусу окружности.

📎 Формула связи радиана с градусами:

И наоборот:

Пример:

Угол 90° в радианах равен:

📎 Радиус — это расстояние от центра окружности до любой её точки. Обозначается буквой R. Радиус играет ключевую роль в определении свойств окружности, таких как длина окружности и площадь круга.

Если окружность расположена в прямоугольной системе координат с центром в начале координат (O(0,0)), то уравнение окружности с радиусом R имеет вид:

x² + y² = R².

📎 Длина окружности — это расстояние, которое нужно пройти по окружности, чтобы вернуться в исходную точку. Она зависит от радиуса окружности и вычисляется по формуле:

L = 2πR,

где R — радиус окружности, π ≈ 3,14159.

Пример:
Если радиус окружности равен R = 5, то длина окружности равна:

L = 2π ⋅ 5 = 10π ≈ 31,42.

📎 Связь радиана, радиуса и длины окружности

1. Радиан как мера угла
Радиан позволяет связать угол с длиной дуги окружности. Если угол α измеряется в радианах, то длина дуги l, соответствующей этому углу, вычисляется по формуле:

l = α ⋅ R,

где R — радиус окружности.

2. Полный оборот окружности
Полный оборот (360°) равен 2π радиан. Соответственно, длина всей окружности равна:

L = 2πR.

Пример задачи:
Угол α = π/3 ​радиан. Найдите длину дуги окружности с радиусом R = 6.
Решение: l = α ⋅ R = π/3  ⋅ 6 = 2π ≈ 6,28.

📎 Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат O(0,0) и радиусом, равным 1. Любая точка на этой окружности имеет координаты (x,y), где:

x = cosα, y = sinα.

Здесь α — это угол между положительным направлением оси Ox и радиус-вектором, проведённым из центра окружности к точке на окружности.

Основное тригонометрическое тождество

Для любой точки на единичной окружности выполняется равенство:

x² + y² = 1 или cos 2α + sin 2α = 1.

Направление отсчёта углов:

1. Углы отсчитываются от положительного направления оси Ox.
2. Положительное направление — против часовой стрелки.
3. Отрицательное направление — по часовой стрелке.

Тригонометрические функции через единичную окружность:

1. Синус угла (sinα) — это ордината (y) точки на единичной окружности.
2. Косинус угла (cosα) — это абсцисса (x) точки на единичной окружности.
3. Тангенс угла (tanα) — это отношение синуса к косинусу: tanα = sinα/cosα.
4. Котангенс угла (cotα) — это отношение косинуса к синусу: cotα = cosα/sinα.

Периодичность тригонометрических функций:

1. Синус и косинус имеют период 360°(или 2π).
2. Тангенс и котангенс имеют период 180°(или π).

Знаки тригонометрических функций по четвертям:

1. В первой четверти (0° < α < 90°): все функции положительны.
2. Во второй четверти (90°< α < 180°): синус положителен, косинус и тангенс отрицательны.
3. В третьей четверти (180°< α < 270°): синус и косинус отрицательны, тангенс положителен.
4. В четвёртой четверти (270°< α < 360°): косинус положителен, синус и тангенс отрицательны.

Оси координат и их значения:

1. На оси Ox (α = 0°, 180°, 360°): синус равен 0, косинус равен ±1.
2. На оси Oy (α = 9°, 270°): косинус равен 0, синус равен ±1.

Радианная мера угла показывает длину дуги единичной окружности, соответствующей данному углу. Например:

Для чего можно использовать единичную окружность

Единичная окружность широко применяется в тригонометрии и физике. Вот основные области её использования:

1. Определение значений тригонометрических функций:

1. С помощью единичной окружности легко находить значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для любого угла.

2. Решение тригонометрических уравнений и неравенств:

1. Единичная окружность помогает визуализировать решения уравнений, таких как sin(x) = a или cos(x) = b.
2. Например, уравнение sin(x) = 1/2 имеет два решения на окружности: x = 30° и x = 150°.

3. Нахождение периодов тригонометрических функций:

1. Период синуса и косинуса равен 360° (или 2π), а тангенса и котангенса — 180° (или π).
2. Единичная окружность наглядно демонстрирует повторяемость значений тригонометрических функций.

4. Изучение свойств тригонометрических функций

Знаки тригонометрических функций зависят от четверти, в которой находится угол:

1. В I четверти: sin > 0, cos > 0.
2. Во II четверти: sin > 0, cos < 0.
3. В III четверти: sin < 0, cos < 0.
4. В IV четверти: sin < 0, cos > 0.

5. Физические приложения:

1. Единичная окружность используется для описания гармонических колебаний, волновых процессов и других явлений, связанных с периодическими функциями.

Решение заданий с единичной окружностью

Задача 1. Найдите значения sin 45°, cos 45° и tan 45°.

Решение:

1. На единичной окружности угол 45° расположен в I четверти. Координаты точки на окружности:

2. Тангенс угла вычисляется как отношение синуса к косинусу:

Задача 2. Решите уравнение cos(x) = -1/2.

Решение:

1. На единичной окружности найдём точки, где cos(x) = -1/2. Это соответствует углам во II и III четвертях.
2. Угол, соответствующий cos(x) = -1/2, равен 120° (во II четверти) и 240° (в III четверти).
3. Общее решение уравнения: x = 120° + 360° n или x = 240° + 360° ⋅ n, n принадлежит Z.

Задача 3. Определите знак sin (210°).

Решение:

1. Угол 210° находится в III четверти.
2. В III четверти синус отрицателен.

---

Единичная окружность — это универсальный инструмент для изучения тригонометрических функций и решения задач. Она помогает наглядно понять, как связаны углы, координаты и тригонометрические функции, а также позволяет эффективно решать уравнения и неравенства. Мы рассмотрели основные применения единичной окружности и решили несколько задач, чтобы закрепить материал. Эти знания будут полезны не только в школе, но и в дальнейшем изучении математики и физики.

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к нашим репетиторам!