Аксиома и теорема

В 7-м классе ученики начинают знакомиться с основами геометрии, где важную роль играют такие понятия, как аксиомы и теоремы. Эти термины являются фундаментальными для всей математики, так как они помогают строить логические рассуждения и доказывать новые утверждения. В этой статье мы разберём, что такое аксиома и теорема, как они связаны между собой, а также рассмотрим часто используемые примеры этих понятий.

Понятие аксиомы

📎 Аксиома — это утверждение, которое принимается как истинное без доказательства. Аксиомы являются основой для построения математической теории. Они не требуют обоснования, поскольку считаются очевидными или общепринятыми.

Аксиомы используются как «кирпичики», из которых строится здание математики. Без них невозможно создать последовательную систему знаний.

Понятие теоремы

📎 Теорема — это утверждение, которое требует доказательства. Для того чтобы доказать теорему, нужно использовать аксиомы, ранее доказанные теоремы и логические рассуждения.

Структура теоремы обычно включает:

1. Условие — то, что дано (известно).
2. Заключение — то, что нужно доказать.

Доказательство теоремы строится на основе аксиом и других теорем.

Теоремы без доказательств

Хотя большинство теорем требуют доказательства, существуют утверждения, которые иногда называют очевидными теоремами , так как их справедливость кажется интуитивно понятной. Однако важно помнить, что такие утверждения всё равно должны быть обоснованы в рамках строгой математической системы.

Пример: Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

→ Это утверждение кажется очевидным, но его можно доказать, используя аксиомы и свойства треугольников.

Понятия свойств и признаков

В математике часто встречаются понятия свойств и признаков , которые тесно связаны с теоремами.

Свойство — это характеристика объекта, которая выполняется всегда.

Например: Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

Признак — это условие, по которому можно определить принадлежность объекта к определённому классу.

Например: Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.

Часто используемые аксиомы и теоремы 

🖇Аксиомы

1. Аксиома прямой
Через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

2. Аксиома отрезка
На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

3. Аксиома угла
От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

4. Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

5. Аксиома расположения точек на прямой
Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

6. Аксиома измерения отрезков
Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

7. Аксиома измерения углов
Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

🖇 Теоремы

1. Теорема о сумме углов треугольника
Сумма углов треугольника равна 180°.

2. Теорема о внешнем угле треугольника
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

3. Теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4. Признак равнобедренного треугольника
Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

5. Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

6. Обратная теорема Пифагора
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

🖇 Признаки равенства треугольников

Первый признак (по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак (по стороне и двум прилежащим углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак (по трём сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

🖇 Признаки параллельности прямых

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

При пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

🖇 Свойства параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

А если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Теорема Фалеса
Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.

🖇 Свойства прямоугольника

Противоположные стороны прямоугольника равны.

Все углы прямоугольника прямые.

Диагонали прямоугольника равны.

🖇 Свойства ромба

Все стороны ромба равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят его углы пополам.

🖇 Свойства квадрата

Все стороны квадрата равны.

Все углы квадрата прямые.

Диагонали квадрата равны, пересекаются под прямым углом и делят углы пополам.

🖇 Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Противоположные углы параллелограмма равны.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

🖇 Свойства трапеции

Основания трапеции параллельны.

У равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны.

---

Мы разобрали, что такое аксиома и теорема, а также их роль в математике. Аксиомы — это основные утверждения, которые принимаются без доказательства, а теоремы требуют строгого обоснования. Эти знания помогут вам лучше понять логику математических рассуждений и научиться доказывать новые утверждения. 

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к нашим репетиторам ⤵︎