Медиана в треугольниках

В геометрии треугольник — одна из самых важных фигур. Изучая его свойства, мы открываем удивительные закономерности, которые помогают решать множество практических задач: от строительства до компьютерной графики.

Одним из ключевых элементов треугольника является медиана. В этой статье мы подробно разберём, что такое медиана, какими свойствами она обладает и как её использовать при решении геометрических задач.

Основные понятия

Различают несколько видов треугольников:

1. равнобедренный — треугольник, у которого две стороны равны (равные стороны называются боковыми сторонами, а третья — основанием);
2. равносторонний (правильный) — треугольник, у которого все три стороны равны;
3. прямоугольный — треугольник, в котором один из углов равен 900.

Важные элементы треугольника:

1. медиана — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (Рисунок 1, а);
2. высота — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону (Рисунок 1, б);
3. биссектриса — отрезок, делящий угол при вершине треугольника на два равных угла и соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне (Рисунок 1, в);
4. серединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная стороне треугольника и проходящая через её середину.

Медианы в треугольниках и их свойства

Каждый треугольник имеет три медианы, по одной из каждой вершины. Все три медианы пересекаются в одной точке — центроиде (или точке пересечения медиан).

Свойства медиан

1️⃣ Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади.
Если в треугольнике ABC проведена медиана AM к стороне BC, то площади треугольников ABM и ACM равны:

2️⃣ Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Если G — центроид треугольника ABC, а AM, BT и CN — медиана, то:

3️⃣ Отрезки медиан от вершин до центроида делят треугольник на три треугольника равной площади.
Треугольники AGB, BGC и CGA имеют равные площади:

4️⃣ Три медианы делят треугольник на шесть треугольников равной площади.
Все шесть маленьких треугольников, образованных медианами, имеют одинаковую площадь:

Формула для вычисления длины медианы

Длина медианы m_c , проведённой из вершины C к стороне AB, вычисляется по формуле:

Примеры решения заданий

Пример 1. В треугольнике ABC сторона AB=10 см, AC=8 см, BC=6 см. Найдите длину медианы, проведённой к стороне AB.

Решение ⤵

Используем формулу для медианы m_c  (где c=AB=10 см):

Ответ: 5 см.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) проведена медиана BM к основанию AC. Известно, что BM=12 см, а площадь треугольника ABC равна 72 см². Найдите длину основания AC.

Решение ⤵

Медиана BM в равнобедренном треугольнике является также высотой, поэтому площадь треугольника можно выразить как:

Подставляем известные значения:

Ответ: 12 см.

📝 Упражнение для самопроверки

Задание. В треугольнике KLM медианы пересекаются в точке O. Площадь треугольника KLM равна 48 см². Найдите площадь треугольника KOM.

Решение ⤵

Точка пересечения медиан  обладает свойством: отрезки медиан от вершин до центроида делят треугольник на три треугольника равной площади. Вычислим искомую площадь по этому свойству:

Ответ: 16 см².

Медиана — важный элемент треугольника, обладающий рядом замечательных свойств. Знание этих свойств позволяет решать разнообразные геометрические задачи. А понимание роли медианы в треугольнике — один из ключевых шагов в освоении геометрии.