Как перевести обыкновенную дробь в десятичную и наоборот

В 6-м классе ученики знакомятся с дробями: обыкновенными и десятичными. Умение переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот является важным навыком в математике. Этот процесс используется для упрощения вычислений и решения различных задач. В данной статье мы рассмотрим, что такое обыкновенная и десятичная дробь, их свойства, а также пошаговые алгоритмы для перевода дробей из одной формы в другую.

Что такое дробь: понятие

Дробь — это число, которое представляет собой отношение двух чисел: числителя и знаменателя. Числитель показывает, сколько частей взято, а знаменатель — на сколько частей делится целое.

Пример: В дроби 7/8​ числитель — 7, знаменатель — 8. Дробь 7/8​ означает, что целое разделено на 8 частей, и взяты 7 частей.

Виды обыкновенных дробей

1. Правильные дрoби: числитель меньше знаменателя. Например, 5/6​.
2. Неправильные дрoби: числитель больше или равен знаменателю. Например, 5/3​.

Числовые и алгебраические дроби

1. Числовые дрoби: числитель и знаменатель являются числами. Например, 2/5​.
2. Алгебраические дроби: числитель и/или знаменатель содержат переменные. Например, х/у​.

Что такое десятичная дробь

Десятичная дробь — это дробь, записанная в виде числа с запятой. Цифры после запятой представляют дробную часть числа.

Пример: десятичная дробь 0,75 эквивалентна обыкновенной дрoби 3/4​.

Конечные десятичные дрoби: дрoби, у которых после запятой конечное количество цифр (например, 0,5 или 0,75).

Бесконечные десятичные дрoби: дроби, у которых после запятой бесконечное количество цифр (например, 0.333…).

Периодические десятичные дрoби: бесконечные десятичные дрoби, у которых цифры после запятой повторяются циклически (например, 0.666… = 0.(6)).

Непериодические десятичные дрoби: бесконечные десятичные дроби, у которых нет повторяющейся последовательности цифр (например, 2,1456738) .

Свойства десятичных дробей

Целая часть дроби

Целая часть десятичной дрoби соответствует целой части смешанной дрoби. Если числитель обыкновенной дрoби меньше знаменателя, то целая часть десятичной дрoби будет равна нулю. Например:

➤ Обыкновенная дробь: 3/4.
➤ Десятичная дробь: 0,75.

Целая часть десятичной дрoби = 0.

➤ Обыкновенная дробь: 7/5.
➤ Десятичная дробь: 1,4.

 Целая часть десятичной дроби = 1.

Дробная часть десятичной дроби

Дробная часть десятичной дрoби содержит те же цифры, что и числитель обыкновенной дрoби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т. д. Это объясняется тем, что десятичная дробь — это просто другая форма записи обыкновенной дрoби, где знаменатель равен степени 10. Примеры:

➤ Обыкновенная дробь: 7/100.
➤ Десятичная дробь: 0,07.

Цифры после запятой = 07 (так же, как и числитель).

➤ Обыкновенная дробь: 45/1000.
➤ Десятичная дробь: 0,045.

Цифры после запятой = 045 (так же, как и числитель).

Количество цифр после запятой

Количество цифр после запятой в десятичной дроби зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. Если знаменатель равен степени 10, то количество цифр после запятой будет соответствовать числу нулей в этой степени. Например:

➤ Обыкновенная дробь: 1/10.
➤ Десятичная дробь: 0,1.

Количество цифр после запятой = 1.

➤ Обыкновенная дробь: 1/100.
➤ Десятичная дробь: 0,01.

Количество цифр после запятой = 2.

➤ Обыкновенная дробь: 1/1000.
➤ Десятичная дробь: 0,001.

Количество цифр после запятой = 3.

Эти свойства являются важными для понимания связи между обыкновенными и десятичными дробями и помогают более эффективно выполнять преобразования между этими двумя формами записи дробей.

Главное свойство десятичной дроби

Десятичная дробь не изменяет своего значения, если к ней приписать или отнять нули в конце записи.

Пример: 0,5 = 0,50 = 0,500.

Связь десятичной и обыкновенной дробей

Каждую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби, если числитель разделить на знаменатель. Десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби через запись в виде отношения двух чисел.

Условие перевода обыкновенной дроби в конечную десятичную

Обыкновенная дробь может быть переведена в конечную десятичную, если в разложении её знаменателя на простые множители есть только числа 2 и/или 5.

Пример: ⅛ = 0,125, так как 8 = 2³.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

1-й способ — деление числителя на знаменатель

Самый простой способ перевести обыкновенную дробь в десятичную — это разделить числитель на знаменатель.

Пример: 

Если обыкновенная дробь не может быть переведена в конечную десятичную, мы используем деление столбиком для получения периодической десятичной дроби.

Пример: перевод дроби 5/6 в десятичную дробь.

Делим 5 на 6:

1. 5 меньше 6, поэтому добавляем 0 и запятую: 0.
2. Дописываем 0 к 5, получаем 50.
3. 50 делим на 6, получается 8, остаток 2.
4. Дописываем 0 к остатку, получаем 20.
5. 20 делим на 6, получается 3, остаток 2…

➤ Процесс деления продолжается, получаем периодическую дробь: 5 : 6 = 0.83333… = 0.8 (3)

2-й способ — расширение дроби до знаменателя, равного степени 10

Если знаменатель можно преобразовать в 10, 100, 1000 и т. д., это также позволяет легко перевести дробь в десятичную.

Пример:

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

1-й способ — использование места после запятой

Определяем количество цифр после запятой и используем это количество в качестве знаменателя.

Пример:

2-й способ — перевод периодической десятичной дроби

Для периодических дробей используем уравнение. Пусть x = 0, (6). Умножаем обе стороны уравнения на 10 (в случае одной повторяющейся цифры) и решаем уравнение.

Обозначим периодическую дробь как x: 

Умножим обе стороны на 10 (перемещаем запятую на одну позицию вправо): 

Умножим обе стороны на 10, чтобы изолировать период: 

Вычтем первое уравнение из второго:

Разделим обе стороны на 90:

Упростим дробь:

Ответ:

Решение примеров

1. Перевод обыкновенной дроби в десятичную: 

2. Перевод десятичной дроби в обыкновенную: 

3. Перевод периодической десятичной дроби в обыкновенную:

4. Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную: 

5. Перевод бесконечной непериодической дроби в обыкновенную:  бесконечные непериодические дроби, такие как 0,1010010001…, нельзя точно представить в виде обыкновенной дроби.

6. Перевод обыкновенной дроби в периодическую десятичную дробь: 

Перевод обыкновенных дробей в десятичные и наоборот — важный навык, который необходим для успешного освоения математики. С помощью описанных алгоритмов и примеров ученики смогут легко выполнять эти преобразования, что значительно облегчит их работу с дробями в дальнейшем. Тренировка и решение большого количества примеров помогут укрепить навыки и понимание процесса перевода дробей.

Если ребёнок испытывает трудности в переводе дробей, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия!

Запишитесь на первый бесплатный урок по форме ниже 💜