Тригонометрическая окружность: как пользоваться

Тригонометрическая окружность — это окружность с центром в начале координат и радиусом 1. А также её называют «числовая окружность» или «единичная окружность». В статье разберёмся, как ей пользоваться и зачем. 

Косинус и синус тригонометрической окружности

Таким образом, косинусом угла называется абсцисса точки на тригонометрической окружности, соответствующей этому углу. А синусом угла называется ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующей этому углу.

Напомним, что абсцисса точки — это её координата на оси Х, а ордината точки — это её координата на оси Y.

Тригонометрическая окружность: основные точки

Рассмотрим основные точки на окружности. Вспомним радианную меру угла. Радиан — это особая единица измерения углов, которая связана с длиной окружности. Один радиан — это такой угол, у которого длина дуги окружности равна радиусу этой окружности. То есть если мы возьмём радиус и «уложим» его по окружности, получится угол в 1 радиан.

Теперь вспомним, что длина всей окружности равна 2πR, где R — радиус. Это значит, что вся окружность (360°) укладывает в себя 2π радиусов.

Если мы возьмём половину окружности, то есть 180°, то длина этой половины будет равна πR. А значит, угол в 180° вмещает в себя ровно π радиусов, то есть π радиан. Начало отсчёта — крайняя правая точка окружности 0° или 0 радиан.

Аналогичным образом вычислим радианную меру углов для табличных значений. Будем учитывать, что точки верхней полуокружности принято записывать только через положительное направление движения по окружности. То есть против часовой стрелки. А точки нижней полуокружности — через отрицательное направление движения. То есть по часовой стрелке.

Получим следующие точки:

Ищем точку на окружности

Как же найти нужную точку на окружности?

Первый способ: значение угла в радианах необходимо перевести в градусную меру. Далее найти точку на окружности с учётом её периодичности — 360°.

Второй способ: искать в радианах. К примеру, найти точку 8π/3. Это означает, что нужно отложить от начала 8 секторов, равных сектору с углом π/3 или 60 градусов.

Выглядеть это будет следующим образом:

Ищем синус и косинус угла по окружности

Научимся определять синус и косинус угла по числовой окружности. Чтобы найти значение синуса или косинуса, необходимо от точки, соответствующей углу, опустить перпендикуляр на вертикальную ось для нахождения синуса и на горизонтальную ось для нахождения косинуса.

Для углов, отмеченных ранее, значения синуса и косинуса будут следующими: 

Немного изучив окружность, можно найти закономерность в значениях и со временем научиться их определять только по окружности. Тогда табличные данные уже будут не нужны.

Давай потренируемся: найдём синус и косинус угла 7π/6.

По окружности найдём значения:

Стоит отметить, что этот способ подходит только для табличных значений.

Читайте также: Как делить в столбик: пошаговый алгоритм