Что такое взаимно простые числа

В 5–6-х классах школьной программы важное место занимает изучение простых чисел и их свойств. Понимание взаимно простых чисел помогает решать множество задач в арифметике и алгебре. В статье мы рассмотрим, что такое взаимно простые числа, алгоритм определения наибольшего общего делителя (НОД), свойства взаимно простых чисел, а также примеры задач с их использованием.

Определение взаимно простых чисел

Взаимно простыми числами называются такие числа, которые не имеют общих делителей, кроме единицы. Это значит, что наибольший общий делитель (НОД) таких чисел равен 1.

Числа 8 и 15 взаимно простые, потому что их единственный общий делитель — 1.
Числа 14 и 25 также взаимно простые, так как их НОД равен 1.

Алгоритм определения наибольшего общего делителя (НОД)

Чтобы определить, являются ли два числа взаимно простыми, необходимо найти их наибольший общий делитель (НОД). Один из способов найти НОД двух чисел — использовать алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида:

1. Возьмите два числа a и b, где a > b.
2. Найдите остаток от деления a на b: r = a mod b.
3. Если r = 0, тогда b — это НОД.
4. Если r > 0, повторите процесс, заменив a на b, а b на r.
5. Продолжайте, пока остаток не станет равен 0.

Пример:

Для чисел 56 и 15:

1. 56 mod 15 = 11.
2. 15 mod 11 = 4.
3. 11 mod 4 = 3.
4. 4 mod 3 = 1.
5. 3 mod 1 = 0.
6. Так как последний ненулевой остаток — 1, числа 56 и 15 взаимно простые.

Таблица простых чисел до 1 000

Простые числа — это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само себя. Взаимно простые числа могут быть и простыми, и составными, но важно, чтобы их общий делитель был только один. Для быстрого решения задач можно использовать таблицу простых чисел.

Простые числа до 1 000:

Свойства взаимно простых чисел

1. НОД равен 1: если два числа взаимно простые, их наибольший общий делитель равен 1.

2. Произведение чисел: если два чиcла взаимно простые, то любое произведение этих чисел также будет взаимно простым с каждым из исходных чисел.

3. Делимость: если число делится на одно из взаимно простых чисел, оно не делится на другое.

4. Взаимная простота с суммой: если чиcла a и b взаимно простые, то они также взаимно просты с их суммой a + b.

5. Взаимная простота с разностью: если числа a и b взаимно простые, то они также взаимно просты с их разностью a — b.

6. Взаимная простота с кратными: если числа a и b взаимно простые, то любые их кратные тоже будут взаимно простыми.

7. Свойство взаимности: если число a взаимно просто с числом b, то b взаимно просто с a.

Определение попарно простых чисел

Попарно простыми называются числа, у которых каждая пара чисел взаимно проста. Например, числа 8, 15 и 21 являются попарно простыми, потому что каждая пара чисел (8 и 15, 8 и 21, 15 и 21) взаимно проста.

Практика решения задач с взаимно простыми числами

Задача 1. Являются ли чиcла 9 и 28 взаимно простыми.

Решение:

1. Найдём делители 9: 1, 3, 9.

2. Найдём делители 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28.

3. Общий делитель — 1.

Ответ: числа 9 и 28 взаимно простые.

Задача 2. Найдите взаимно простые числа среди 6, 25 и 35.

Решение: проверим каждую пару:

1. 6 и 25: НОД = 1.

2. 6 и 35: НОД = 1.

3. 25 и 35: НОД = 5 (не взаимно простые).

Ответ: взаимно простыми являются только пары 6 и 25, 6 и 35.

Задача 3: Определите, взаимно ли просты числитель и знаменатель дроби 14/25.

Решение:

1. Найдём делители 14: 1, 2, 7, 14.

2. Найдём делители 25: 1, 5, 25.

3. Общий делитель — 1.

Ответ: чиcла 14 и 25 взаимно простые.

Задача 4: Проверьте, являются ли чиcла 45 и 64 взаимно простыми, используя алгоритм Евклида.

Решение:

45 mod 64 = 45;

64 mod 45 = 19;

45 mod 19 = 7;

19 mod 7 = 5;

7 mod 5 = 2;

5 mod 2 = 1;

2 mod 1 = 0.

Ответ: чиcла 45 и 64 взаимно простые, так как последний ненулевой остаток равен 1.

Понимание и использование взаимно простых чисел играет важную роль в математике. Это понятие помогает решать множество задач, связанных с делимостью, дробями и НОД. Изучение свойств взаимно простых чисел и применение их на практике развивает логическое мышление и математические навыки.

Если ребёнок испытывает трудности в понимании взаимно простых чисел, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜