Что такое вектор

Ученики знакомятся с темой векторов в 9-м классе в курсе геометрии и далее продолжают работать с ними в курсе алгебры и физики. Вектор является фундаментальной частью математического образования и находит широкое применение в различных областях науки и техники, таких как физика, инженерия и компьютерная графика.

В этой статье мы разберём основные понятия, связанные с векторами, их свойства и способы работы с ними. Рассмотрим определение вектора, виды векторов, а также основные операции над ними, такие как сложение, вычитание и умножение на число. Мы также затронем тему скалярного произведения векторов и решим задачи на векторы.

Векторы: определение и обозначение

Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется величиной (длиной) и направлением. Векторы могут быть представлены как стрелки в двумерном или трёхмерном пространстве.
Обычно вектор обозначается буквой со стрелкой сверху, например:

Вектор также можно обозначать жирной буквой, как: 

или вектором в координатной форме

 в двумерном пространстве и 

в трёхмерном.

Пример:

Векторы: виды

1. Нулевой вектор: вектор, который имеет нулевую длину и не имеет направления. Обозначается как 

2. Единичный вектор: вектор длиной 1 используется для указания направления. 

Коллинеарные и неколлинеарные векторы

Коллинеарные векторы: векторы, которые лежат на одной прямой или параллельны друг другу. Они могут быть направлены в одну и ту же сторону или в противоположные.

Пример: векторы (2, 4) и (1, 2) коллинеарны, так как один из них является кратным другому.

Неколлинеарные векторы: векторы, которые не лежат на одной прямой и не являются параллельными.

Пример: векторы (1, 0) и (0, 1) неколлинеарны, так как они образуют прямой угол.

Сонаправленные и противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы: векторы, которые имеют одинаковое направление, но могут различаться по длине.

Пример: векторы (2, 3) и (4, 6) сонаправлены, так как один является кратным другому.

Противоположно направленные векторы: векторы, которые направлены в противоположные стороны.

Пример: векторы (2, 3) и (-2, -3) противоположно направлены.

Равные векторы

Равные векторы: векторы, которые имеют одинаковую длину и направление, независимо от их начального положения.

Пример: векторы (3, 4) и (3, 4) равны.

Нулевой вектор

Нулевой вектор: вектор, у которого и направление, и длина равны нулю. Не имеет определённого направления.

Закреплённые и свободные векторы

Закреплённые векторы: векторы, у которых начальная и конечная точки фиксированы в пространстве.

Свободные векторы: векторы, которые можно перемещать в пространстве, не изменяя их направление и длину.

Сложение и вычитание векторов

Мeтод треyгольника

Метод параллелограмма

Мeтод мнoгоугольникa

Вычитание векторов

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Умножение вектора на число

Определение: умножение вектора на скалярное число (множитель) изменяет его длину, но не его направление.

Длина вектора

Через координаты вектора:

Черeз координаты точек начала и конца:

Черeз теорему косинусов:

Скалярное произведение векторов

Шпаргалка по векторам

Вектор: решение задач

---

Векторы — это фундаментальный математический инструмент, который используется для описания направленных величин в пространстве. Знание основных операций с векторами, таких как сложение, вычитание, умножение на число и скалярное произведение, а также умение находить длину вектора и его координаты, являются важными навыками для решения задач в различных областях математики.

Если ребёнок испытывает трудности при работе с векторами, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜

Первый урок — бесплатный, записаться можно по форме ниже 👇