Какие числа называются целыми

В 6-м классе школьной программы учащиеся начинают более подробно изучать различные виды чисел, включая целые числа. Понимание целых чисел и их свойств является основой для дальнейшего изучения алгебры и других разделов математики. В этой статье мы рассмотрим определение целых чисел, их свойства, виды, применение и решение задач с их использованием.

Определение целого числа

Целые числа включают все натуральные числа, их отрицательные значения и ноль. Множество целых чисел обычно обозначается буквой Z и выглядит следующим образом:
Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }.

Примеры целых чисел: -5, 0, -7, 1 000, 56.

Целые числа могут быть изображены на числовой прямой. Числовая прямая — это графическое представление чисел, где каждая точка соответствует определённому числу. На этой прямой ноль занимает центральное положение, положительные числа находятся справа от нуля, а отрицательные — слева.

Свойства целых чисел

1. Замкнутость: целые чиcла замкнуты относительно операций сложения, вычитания и умножения. Это означает, что сумма, разность и произведение любых двух целых чисел также являются целыми числами.

2. Ассоциативность:
  — (a + b) + c = a + (b + c);
  — (a · b) · c = a · (b · c).

3. Коммутативность:
  — a + b = b + a;
  — a · b = b · a.

4. Существование нуля и единицы:
  — a + 0 = a;
  — a · 1 = a.

5. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
  — a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

Положительные и отрицательные целые числа

Целые чиcла делятся на положительные, отрицательные и ноль.

Положительные целые чиcла: это числа больше нуля (1, 2, 3, …).

Отрицательные целые чиcла: это чиcла меньше нуля (-1, -2, -3, …).

Ноль: не является ни положительным, ни отрицательным числом, но включается в множество целых чисел.

Примеры:

1. Положительные: 3, 15, 100.
2. Отрицательные: -4, -20, -100.
3. Ноль: 0.

Неположительные и неотрицательные целые числа

Неположительные целые числа: включают все отрицательные целые числа и ноль (≤ 0).
Неотрицательные целые числа: включают все положительные целые числа и ноль (≥ 0).

Примеры:

1. Неположительные: 0, -1, -2, -3.
2. Неотрицательные: 0, 1, 2, 3.

Множества и подмножества целых чисел

Целые числа являются частью более широкого множества чисел. Рассмотрим основные множества чисел и их подмножества:

1. Натуральные чиcла (N): это положительные целые числа, начиная с 1 (1, 2, 3, …). 

2. Целые чиcла (Z): включают натуральные числа, их отрицательные значения и ноль.

3. Рациональные чиcла (Q): это числа, которые могут быть представлены в виде дроби a/b, где a и b — целые чиcла, и b ≠ 0.

Применение целых чисел

Целые чиcла широко используются в различных областях математики и реальной жизни:

1. Финансы: представление прибылей и убытков.
2. Температурные шкалы: измерение температур выше и ниже нуля.
3. Координатные системы: представление точек на координатных осях.
4. Ежедневные ситуации: подсчёт предметов, расчёт изменений в количестве чего-либо.

Решение задач с целыми числами

Пример 1. Сложение целых чисел.

Найдите сумму чисел 7 и -5.

Решение: 7 + (-5) = 2.

Пример 2. Вычитание целых чисел.

Найдите разность чисел -3 и 4.

Решение: -3 — 4 = -7.

Пример 3. Умножение целых чисел.

Найдите произведение чисел -6 и 3.

Решение: -6 ∙ 3 = -18.

Пример 4. Деление целых чисел.

Найдите частное чисел -20 и 5.

Решение: -20 ÷ 5 = -4.

Пример 5. Целые чиcла на числовой прямой.

Найдите целые чиcла между -3 и 2 на числовой прямой.

Решение. Целые чиcла в этом промежутке -2, -1, 0, 1.

Пример 6. Количество целых чисел между числами.

Сколько целых чисел находится между -10 и 5?

Решение. Целые чиcла в этом промежутке: -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Количество целых чисел: 14.

Пример 7. Количество целых чисел между числами.

Сколько целых чисел находится между 3 и 12?

Решение. Целые чиcла в этом промежутке: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Количество целых чисел: 8.

Целые чиcла являются основой для более сложных математических действий. Они включают положительные и отрицательные чиcла, а также ноль, и обладают рядом важных свойств, таких как замкнутость, ассоциативность и коммутативность. Понимание и умение работать с целыми числами является важным шагом в развитии математической грамотности учащихся и их способности решать разнообразные математические задачи.

Если ребёнок испытывает трудности в работе с целыми числами, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜