Трапеция

Изучение трапеций — важная часть школьной программы по геометрии для учеников 8-го класса. В этом возрасте ученики знакомы с основными геометрическими фигурами, такими как треугольник и прямоугольник, и начинают изучать более сложные фигуры, в том числе трапеции. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а другие две не параллельны.

В статье рассмотрим основные понятия, виды трапеций и их свойства, а также разберём несколько задач, чтобы лучше понять применение этих знаний.

Основные понятия

Трапеция — это геометрическая фигура, у которой две противоположные стороны параллельны и называются основаниями трапеции, а другие две стороны не параллельны и называются боковыми сторонами трапеции. 

Высота трапеции — это перпендикуляр, опущенный из одной из точек одного основания на противоположное основание.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон, она всегда параллельна основаниям и равна их полусумме. 

Диагонали трапеции — это отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры.

Равнобедренная (равнобокая) трапеция

Равнобедренная трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. В такой трапеции углы при основаниях также равны. Это особое свойство позволяет использовать равнобедренные трапеции в различных задачах на симметрию и равенство углов.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

Для равнобедренной трапеции характерны следующие свойства:

1. Равенство углов при основаниях: углы, прилежащие к одному основанию, равны.

2. Равенство диагоналей: диагонали равнобедренной трапеции равны.

Пример: если ABCD — равнобедренная трапеция, где AB и CD — основания, то AD = BC, ∠A = ∠B и ∠C = ∠D, а диагонали AC и BD равны.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольная трапеция — это трапеция, в которой один из углов между основанием и боковой стороной равен 90 градусам. Это также особый случай трапеции, где высота совпадает с одной из боковых сторон трапеции.

Свойства и признаки прямоугольной трапеции

Основные свойства прямоугольной трапеции включают:

1. Наличие прямого угла: один угол между основанием и боковой стороной равен 90 градусам.

2. Перпендикулярность боковой стороны и основания: одна из боковых сторон является высотой трапеции.

3. Равенство углов: углы, смежные с прямым углом, дополняются до 90 градусов.

Пример: в трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если ∠A = 90° и ∠D = 90°, то трапеция является прямоугольной.

Решение задач

Задача 1

Дано: в трапеции ABCD основания AB и CD равны 8 см и 12 см соответственно, а высота трапеции равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
Площадь = (1/2) ∙ (основание₁​ + основание₂) ∙ высота.

Подставим значения:
Площадь = (1/2) ∙ (8 + 12) ∙ 6 = (1/2) ∙ 20 ∙ 6 = 60 см².

Таким образом, площадь трапеции равна 60 см².

Задача 2

Дано: равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AB и CD, где AB = 10 см, CD = 6 см, а боковая сторона трапеции AD = 5 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции, если провести высоты из вершин боковых сторон к большему основанию, образуются два прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной боковой стороне трапеции. Обозначим высоту как h и половину разности оснований как x.

Тогда по теореме Пифагора:

x² + h² = AD²

Поскольку x = (AB — CD)/2 = (10 — 6)/2 = 2 см, получаем:

2² + h² = 5²
4 + h² = 25
h² = 21
h = √21 см

Задача 3

Дано: в прямоугольной трапеции ABCD, где AB = 6 см, CD = 10 см, угол D равен 90°. Найдите длину боковой стороны AD.

Решение:

Так как трапеция прямоугольная, боковая сторона AD является высотой и перпендикулярна основаниям.

По теореме Пифагора для треугольника ADC:

AD² = CD² — AB²

Подставим значения:

AD² = 10² — 6²
АD² = 100 — 36
AD² = 64
AD = √64 = 8 см

Таким образом, боковая сторона AD равна 8 см.

Задача 4

Дано: трапеция ABCD с основаниями AB = 12 см и CD = 16 см и высотой 5 см. Найдите длину средней линии.

Решение:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Формула для средней линии:
Средняя линия = (AB + CD) / 2

Подставим значения:
Средняя линия = (12 + 16) / 2 = 28 / 2 = 14 см

---

Трапеции представляют собой важную и интересную часть геометрии, которую проходят в 8-м классе. Изучение их свойств, таких как параллельность оснований, равенство боковых сторон, равенство углов, а также способность вычислять площадь и использовать среднюю линию, играет важную роль в развитии математических навыков. Равнобедренная и прямоугольная трапеции являются особенными случаями трапеций, каждый из которых обладает уникальными свойствами и признаками, что позволяет решать широкий спектр задач.

Практическое применение этих знаний помогает ученикам лучше понимать и визуализировать геометрические фигуры в реальной жизни, что является важным шагом в изучении математики.

Если ребёнок испытывает трудности в работе с трапециями, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите на занятия к репетиторам нашей платформы! Первый урок — бесплатный 💜