Теория вероятностей

В этой статье мы рассмотрим одну из самых увлекательных и практичных тем в математике — теорию вероятностей. Эта наука помогает оценивать шансы наступления различных событий в нашей жизни. Когда вы бросаете игральный кубик, подбрасываете монетку или выбираете конфету из коробки — во всех этих ситуациях работает теория вероятностей. Знание этой темы пригодится школьнику не только на экзаменах, но и в повседневной жизни для принятия обоснованных решений.

Теория вероятностей: основные понятия

Давайте познакомимся с основными терминами теории вероятностей. 

Испытание — это любой процесс, результат которого заранее неизвестен. Например, бросание монеты или извлечение шара из мешка. 

Событие — это возможный результат испытания. Событием может быть выпадение орла при подбрасывании монеты или появление определённого числа на игральном кубике.

Вероятность — это числовая характеристика, показывающая, насколько возможно наступление того или иного события.

Событие. Виды событий

События бывают разных видов:

→ Достоверное событие — это событие, которое обязательно произойдёт в данном испытании. Например, при бросании игрального кубика, выпадение числа от 1 до 6. 

→ Невозможное событие — событие, которое заведомо не произойдёт. Например, выпадение числа 7 на стандартном игральном кубике. 

→ Случайное событие — событие, которое может произойти, а может и не произойти. Например, выпадение решки при подбрасывании монеты. Также события делятся на совместные (могут произойти одновременно) и несовместные (не могут произойти одновременно). Например, при бросании кубика выпадение чётного числа и выпадение числа 4 — совместные события, а выпадение 1 и 6 — несовместные.

Алгебра событий

В теории вероятностей, как и в обычной алгебре, над событиями можно выполнять различные операции ⤵

1️⃣ Сумма событий A или B — это событие, которое происходит, когда наступает хотя бы одно из событий A или B. Например, при бросании кубика сумма событий «выпадение чётного числа» или «выпадение числа, кратного 3» даёт события: 2, 3, 4, 6.

2️⃣ Произведение событий A и B — это событие, которое происходит, когда наступают оба события A и B одновременно. Например, произведение событий «выпадение чётного числа» и «выпадение числа, большего 3» даёт события: 4 и 6.

3️⃣ Противоположное событие для события A — это событие, которое происходит тогда, когда не происходит событие A. Например, для события «выпадение орла» противоположным будет «выпадение решки».

Классическое определение и формула вероятности

Записывается это в виде формулы:

P(A) = m/n

где:

1. P(A) — вероятность события A;
2. m — число благоприятных исходов;
3. n — общее число равновозможных исходов.

Например, вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 1/2, так как есть один благоприятный исход (орёл) и два возможных исхода (орёл или решка).

👉 Помните: теория вероятностей не предсказывает точно, что произойдёт в единичном испытании, но позволяет оценить шансы различных исходов при многократном повторении.

Примеры решения заданий

Давайте решим несколько задач вместе, чтобы закрепить теорию.

Задача 1. В коробке лежат 5 красных и 3 синих шара. Какова вероятность вытащить красный шар?

Решение:

1. Общее число шаров: 5 + 3 = 8.
2. Число благоприятных исходов (красных шаров): 5.
3. Вероятность: P = 5/8 = 0,625.

Ответ: P = 0,625.

Задача 2. Бросают игральный кубик. Какова вероятность выпадения числа, большего 4?

Решение:

1. Общее число исходов: 6 (числа от 1 до 6).
2. Благоприятные исходы: 5, 6 (числа, большие 4).
3. Вероятность: P = 2/6 = ⅓.

Ответ: P = ⅓.

📝 Упражнение для самопроверки

Попробуйте решить задание самостоятельно.

Упражнение 1. В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?

Решение:

1. Общее число исходов: 100.
2. Число благоприятных исходов проигрыша: 100 — 5 = 95.
3. Вероятность: P = 95/100 = 0,95.

Ответ: P = 0,95.

Теория вероятностей — мощный инструмент для анализа случайных событий. В статье мы рассмотрели основные понятия этой науки: события, их виды, операции над событиями и классическое определение вероятности. Эти знания станут прочной основой для дальнейшего изучения математики и помогут школьнику принимать более обоснованные решения в повседневных ситуациях, связанных со случайностью.