Разложение многочлена на множители

Разложение многочлена на множители — это процесс представления многочлена в виде произведения более простых многочленов. Знание этого процесса помогает упрощать выражения и решать уравнения. В 7-м классе мы изучаем основные способы: группировку, вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения. Об этом и поговорим в статье.

Разложение многочлена на множители способом группировки

Способ группировки используется, когда в многочлене можно сгруппировать члены парами или группами, чтобы вынести общий множитель.

Рассмотрим этот способ на примере ⤵

Разложите на множители 3x²+3xy+2x+2y 

Решение:

(3x²+3xy)+(2x+2y)=3x(x+y)+2(x+y)=(3x+2)(x+y).

После группировки становится видно, что (x+y) — общий множитель.

Вынесение общего множителя за скобки

Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки.

Пример ⤵

Разложите на множители  6x²y+9xy²−3xy. 

Решение:

Общий множитель — 3xy, вынесем его за скобки:

3xy(2x+3y−1).

👉 Примечание: при разложении многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки рекомендуется искать наибольший общий множитель (НОД) буквенных и числовых коэффициентов.

Применение формул сокращённого умножения 

Формулы сокращённого умножения помогают быстро разложить квадратные трёхчлены и другие многочлены.

Наиболее часто применяются формулы разности квадратов, квадрата суммы и квадрата разности:

1. a2−b2=(a−b)(a+b);
2. a2+2ab+b2=(a+b)2;
3. a2−2ab+b2=(a−b)2.

Пример ⤵

Разложите на множители:

а) x²−9;

б) 4x²+12x+9.

Решение: 

а) x²−9=x²−3²=(x−3)(x+3);

б) 4x²+12x+9=(2x+3)².

📝 Упражнение для самопроверки

Задание. Разложите на множители x²+6x+9.

Решение ⤵

Применим формулу квадрата суммы и получим x²+6x+9 = (x+3)².

Разложение многочлена на множители — ключевой навык алгебры, который упрощает решение уравнений и упрощение выражений. Освоив способ группировки, вынесение общего множителя и формулы сокращённого умножения, вы сможете уверенно работать с многочленами. Практикуйтесь на примерах, и всё станет понятным.