Что такое рациональные числа

В 6-м классе школьной программы ученики начинают знакомиться с понятием рациональных чисел. Это важная тема, которая помогает углубить понимание арифметики и алгебры, а также развивает математическое мышление. В этой статье мы рассмотрим, что такое рациональные числа, их свойства, отличие от иррациональных чисел, различные множества чисел, а также решение задач с их использованием.

Определение рационального числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, а b не равно 0. Это значит, что любое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, является рациональным числом.

Примеры рациональных чисел:

1. 1/2 (0,5);
2. 3/4 (0.,75);
3. -7/3 (-2,3333…);
4. 5 (можно записать как 5/1);
5. 0 (можно записать как 0/1).

Рациональные числа: свойства

1. Замкнутость относительно сложения: сумма двух рациональных чисел также является рациональным числом.

2. Замкнутость относительно вычитания: разность двух рациональных чисел также является рациональным числом.

3. Замкнутость относительно умножения: произведение двух рациональных чисел также является рациональным числом.

4. Замкнутость относительно деления: частное двух рациональных чисел (где делитель не равен нулю) также является рациональным числом.

5. Плотность: между любыми двумя рациональными числами всегда существует другое рациональное число.

6. Ассоциативность сложения и умножения: 

(a + b) + c = a + (b + c) и (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

7. Коммутативность сложения и умножения: 

a + b = b + a и a ∙ b = b ∙ a

8. Дистрибутивность умножения относительно сложения: 

a ∙ (b + c) = (a ∙ b) + (a ∙ c)

9. Существование нуля и единицы: для любого рационального числа a выполняется a + 0 = a и a ∙ 1 = a.

Определение иррационального числа

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби a/b, где a и b — целые числа, а b не равно 0. Иррациональные числа имеют бесконечное непериодическое десятичное представление.

Примеры иррациональных чисел:

1. √2 = 1,4142135…;
2. -√10 = -3,162277…;
3. π = 3,141592…;
4. e =  2,718281…

Свойства иррациональных чисел

1. Непериодичность: десятичное представление иррациональных чисел бесконечно и не имеет периодичности.

2. Замкнутость: множество иррациональных чисел не замкнуто относительно основных арифметических операций.

3. Рациональность и иррациональность: сумма и произведение рационального и иррационального числа всегда иррациональны.

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Числа можно разделить на несколько различных множеств, каждое из которых включает определённые типы чисел:

1. Натуральные числа: числа, которые мы используем для счёта (1, 2, 3, …). Они всегда положительные. Примеры: 1, 2, 3, 4, 5.

2. Целые числа: включают натуральные числа, ноль и отрицательные числа (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …). Примеры: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

3. Рациональные числа: включают все целые числа и дроби, которые можно представить в виде a/b, где a и b — целые числа, а b не равно 0. Примеры: 1/2, 4, -5, 0,75.

Решение задач на рациональные числа

Пример 1. Сложение рациональных чисел.

Решение:

Пример 2. Рациональные числа: вычитание.

Решение:

Пример 3. Умножение рациональных чисел.

Решение:

Пример 4. Рациональные числа: деление.

Решение:

Рациональные числа являются фундаментальной частью математики. Понимание их свойств и различий с иррациональными числами позволяет лучше решать математические задачи и развивать логическое мышление. Рациональные числа включают целые и дробные числа, и операции над ними играют ключевую роль в алгебре и других разделах математики.

Если ребёнок испытывает трудности в понимании рациональных чисел, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜