Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Пропорциональные зависимости — это важная тема математики 6 класса, которая помогает понять, как изменяются связанные величины в реальной жизни. 

Если одна величина увеличивается, а другая тоже растёт — это прямая пропорциональность. Если же одна растёт, а другая уменьшается — это обратная. Понимание этих зависимостей пригодится при решении задач о скоростях, работе, покупках и многом другом.

Основные определения

Формула: y=kx , где k — коэффициент пропорциональности (постоянное число).

Формула:

Прямо пропорциональные величины

Прямо пропорциональные величины — это когда две вещи растут вместе или уменьшаются вместе, как лучшие друзья, которые всегда идут рука об руку.

Представим ситуацию из жизни: покупка конфет.

1 упаковка конфет стоит 20 рублей,
2 упаковки стоят 40 рублей,  
3 упаковки стоят 60 рублей.

Очевидна закономерность: чем больше упаковок, тем больше стоимость. Увеличиваем количество конфет → растёт общая стоимость. Это прямая пропорциональность!

🤔 Как отличить прямую пропорциональность?

Лёгкий способ:

1. Берём две пары значений;
2. Делим одно на другое в каждой паре;
3. Получается одинаковое число? → это прямая пропорциональность.

Конфеты:
60 рублей ÷ 3 упаковки = 20 руб/упаковка
40 рублей ÷ 2 упаковки = 20 руб/упаковка

Число одинаковое — 20, значит — прямая пропорциональность.

Пример 1. Маша печёт печенье. За 2 часа испекла 60 штук. Сколько печенья Маша испечёт за 5 часов?

Решение ⤵

1. Найдём коэффициент пропорциональности: k = 60 : 2 = 30,
2. За 5 часов: y = 30 × 5 = 150 (печений).

Ответ: 150 печений.

Обратно пропорциональные величины

Представим ситуацию «качели»:

Обратно пропорциональные величины — это когда одна вещь растёт, а другая уменьшается, как на качелях: одна сторона вверх, другая — вниз.

Представим ситуацию: маляры красят забор.

3 маляра красят забор за 4 дня
6 маляров покрасят тот же забор за 2 дня

Закономерность: чем меньше маляров, тем больше дней.

🤔 Как отличить обратную пропорциональность?

Лёгкий способ:

1. Берём две пары значений;
2. Умножаем одно на другое в каждой паре.

Получается одинаковое число? → это обратная пропорциональность.

3 маляра × 4 дня = 12  
6 маляров × 2 дня = 12

Число 12 всегда одинаковое — это и есть признак обратной пропорциональности.

Пример 2. 4 человека укладывают плитку за 5 дней. Сколько дней нужно 10 людям?

Решение ⤵

1. 4 человека × 5 дней = 20 
2. 10 человек × ? дней = 20
3. ? = 20 ÷ 10 = 2 (дня)

Ответ: 2 дня.

📝 Упражнения для самопроверки

Задание 1. Автобус едет со скоростью 50 км/ч. Сколько километров он проедет за 3 часа?

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

Прямая пропорциональность.

1. Найдём коэффициент пропорциональности: 50 км : 1 час = 50.
2. За 3 часа: 50 × 3=150 (км).

Ответ: 150 км.

Задание 2. 4 человека собирают 20 ящиков за 5 дней. Сколько дней нужно 10 людям?

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

Обратная пропорциональность.

1. 4 человека × 5 дней = 20
2. 10 человек × ? дней = 20
3. ? = 20 : 10 = 2 (дня).

Ответ: 2 дня.

---

Прямая и обратная пропорциональные зависимости объясняют многие процессы в жизни. Главное — запомнить формулы: 

y=kx и xy=k,

И по ним находить коэффициент из условия и проверять норму. Эти знания пригодятся в задачах на движение, работу, а также в экономике и даже физике.