Площадь трапеции

В данной статье мы изучим одну из важнейших тем — площадь трапеции. Умение находить площадь этой фигуры пригодится школьнику не только на уроках математики, но и в реальной жизни — от расчёта материалов для строительства до решения других практических задач. Мы разберём различные способы вычисления площади трапеции, начиная с самого простого и заканчивая более сложными, но интересными формулами.

Основные понятия

Основные элементы трапеции:

1. Основания трапеции — параллельные стороны (на рисунке 1: AB и CD).
2. Боковые стороны — непараллельные стороны (на рисунке 1: AD и BC).
3. Высота трапеции — перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию (на рисунке 1: CH).
4. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
5. Диагонали — отрезки, соединяющие противоположные вершины (на рисунке 1: AC и BD).

Виды трапеций:

1. Произвольная трапеция — боковые стороны не равны.
2. Равнобедренная трапеция — боковые стороны равны.
3. Прямоугольная трапеция — одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Формулы площади трапеции

Через основания и высоту

Это основная и самая часто используемая формула:

S = (a + b)/2 * h

где:

1. S — площадь трапеции;
2. a, b — длины оснований;
3. h — высота трапеции.

Через среднюю линию и высоту

Если известна средняя линия трапеции (m), то:

S = m * h

где m = (a + b)/2

Через диагонали и синус угла между ними

Если известны длины диагоналей (d₁ и d₂) и угол между ними (α):

S = 1/2 * d₁ * d₂ * sin(α)

Через полупериметр и радиус вписанной окружности

Если в трапецию можно вписать окружность (сумма оснований равна сумме боковых сторон), то:

S = p * r

где:

1. p — полупериметр трапеции (p = (a + b + c + d)/2);
2. r — радиус вписанной окружности.

Примеры решения заданий 

Пример 1 ⤵
Основания трапеции равны 6 см и 10 см, а высота — 5 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

S = (a + b)/2 * h.
S = (6 + 10)/2 * 5 = 16/2 * 5 = 8 * 5 = 40 (см²).

Ответ: 40 см².

Пример 2 ⤵
В равнобедренной трапеции основания равны 8 см и 16 см, а боковая сторона — 5 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Найдём высоту трапеции. Опустим две высоты из вершин меньшего основания.
2. Проекция боковой стороны на большее основание: (16 — 8)/2 = 4 (см).
3. По теореме Пифагора: h = √(5² — 4²) = √(25 — 16) = √9 = 3 (см).
4. Площадь: S = (8 + 16)/2 * 3 = 24/2 * 3 = 12 * 3 = 36 (см²).

Ответ: 36 см².

Пример 3 ⤵
Диагонали трапеции равны 6 см и 8 см и пересекаются под углом 30°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

S = 1/2 * d₁ * d₂ * sin(α).
S = 1/2 * 6 * 8 * sin(30°) = 1/2 * 48 * 0,5 = 24 * 0,5 = 12 (см²).

Ответ: 12 см².

📝 Упражнения для самопроверки

Задача 1. Основания трапеции равны 5 см и 9 см, высота — 4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

S = (5 + 9)/2 * 4 = 14/2 * 4 = 7 * 4 = 28 (см²).
Ответ: 28 см².

Задача 2. Средняя линия трапеции равна 7 см, а высота — 6 см. Найдите площадь трапеции.

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

S = m * h = 7 * 6 = 42 (см²).
Ответ: 42 см².

Задача 3. В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10 см, а меньшая боковая сторона (являющаяся высотой) равна 4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

S = (6 + 10)/2 * 4 = 16/2 * 4 = 8 * 4 = 32 (см²).
Ответ: 32 см²

---

Мы изучили различные способы нахождения площади трапеции. Важно запомнить основную формулу через основания и высоту, так как она используется чаще всего. Остальные формулы помогут вам решать задачи разного уровня сложности.

Трапеция — интересная геометрическая фигура, встречающаяся в архитектуре, технике и природе. Умение работать с ней расширит ваши возможности в решении геометрических задач и понимании окружающего мира.

💡 Полезный совет: при решении задач всегда начинайте с чертежа, отмечайте известные данные и ищите связь между известными и искомыми. Это поможет выбрать правильный способ решения.