Перпендикулярные прямые 

Перпендикулярные прямые — один из ключевых элементов геометрии, важный как для теоретических задач, так и для практических построений. Ученики начинают работать с ними в 7-м классе. Встречаются они не только в учебниках, но и в повседневной жизни: на перекрёстках дорог, при строительстве зданий, в архитектуре и дизайне. Перпендикулярные прямые помогают формировать пространственное мышление и углубляют понимание построений и взаимного расположения линий в пространстве и на плоскости.

Мы рассмотрим в статье основные понятия, свойства, теоремы и методы построения перпендикулярных прямых, а также разберём способы их использования в задачах.

Основные понятия

📎 Перпендикулярные прямые — это такие прямые, которые пересекаются под прямым углом. Если одна из них образует с другой угол в 90°, то они называются перпендикулярными. Чтобы определить, перпендикулярны ли прямые, можно измерить угол между ними: если он равен 90°, то прямые считаются перпендикулярными.

📎 Перпендикулярные отрезки — это такие отрезки, которые лежат на перпендикулярных прямых.

Важно отметить, что для того, чтобы считаться перпендикулярными, этим отрезкам не обязательно пересекаться. Достаточно, чтобы угол между прямыми, на которых они расположены, составлял 90°.

Построение перпендикулярных прямых

Построить перпендикулярные прямые можно разными способами, в зависимости от задачи. 

1. Построение перпендикулярных прямых с помощью транспортира

Для построения перпендикулярной прямой через точку на заданной прямой можно использовать транспортир, что облегчает процесс для тех, кто еще не освоил более сложные инструменты.

1. Начертите прямую и отметьте на ней точку, через которую хотите провести перпендикуляр.
2. Поместите транспортир на прямую линию так, чтобы отметка «0» совпадала с этой точкой. Убедитесь, что транспортир расположен ровно на линии.
3. Найдите отметку 90 градусов на транспортире и поставьте точку напротив этой отметки, чтобы она находилась на линии угла 90 градусов относительно начальной точки.
4. Соедините начальную точку с новой точкой. Теперь у вас есть линия, которая является перпендикулярной данной прямой.

2. Построение перпендикулярных прямых с помощью угольника

Чтобы построить перпендикулярную прямую с помощью угольника:

1. Выберите точку на первой прямой, где хотите провести перпендикуляр.
2. Приложите угольник так, чтобы одна из его сторон совпала с направлением первой прямой, а угол в 90° касался выбранной точки.
3. Проведите вторую прямую по другой стороне угольника, соблюдая угол 90° между прямыми.

3. Построение перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки

1. Построение через заданную точку: чтобы провести прямую, перпендикулярную данной, через точку на прямой, достаточно провести круг, центр которого — заданная точка, а радиус достигает прямой. Отметив точки пересечения круга с прямой, можно соединить их линией, проходящей через заданную точку, под прямым углом к исходной прямой.

2. Построение перпендикулярной прямой вне заданной прямой: чтобы провести перпендикулярную прямую через точку, находящуюся вне прямой, нужно использовать перпендикулярные теоремы и свойства прямых, о которых поговорим далее.

Теорема о перпендикулярных прямых

Теорема о перпендикулярных прямых гласит:

Эта теорема помогает решать задачи на взаимное расположение прямых и строить перпендикуляры в трёхмерном пространстве.

Доказательство теоремы о перпендикулярных прямых

Для доказательства данной теоремы воспользуемся методом от противного. Предположим, что утверждение неверно.

Рассмотрим прямую a и выберем на ней произвольные точки A и B. Из точки B проведём луч BA и отложим угол ∠ABM = 90°, где точка M лежит на отрезке, образующем прямую, перпендикулярную к a.

Теперь представим, что в той же полуплоскости существует другая прямая BN, проходящая через точку B и также перпендикулярная к прямой a.∠ABN и ∠ABM оба равны 90° и расположены в одной полуплоскости относительно луча BA. Однако из одной точки в данной полуплоскости можно провести только один угол в 90°.

Таким образом, мы приходим к противоречию: второй перпендикуляр, проходящий через точку B и перпендикулярный прямой a, не может существовать.

Следовательно, теорема доказана.

Свойства перпендикулярных прямых

1️⃣ Все углы, образуемые пересечением двух перпендикулярных прямых, равны и составляют по 90°.

2️⃣ Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, они параллельны друг другу.

3️⃣ Прямая, перпендикулярная стороне треугольника, может служить высотой треугольника.

Использование перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые активно используются в различных математических задачах, в архитектуре, при создании чертежей, в компьютерной графике и даже в технике.

Примеры ⤵

1. Построение высоты треугольника. Перпендикулярная прямая может выступать в роли высоты треугольника, проходящей от вершины к стороне.

2. Перпендикулярные прямые в координатной плоскости. Оси координат X и Y – яркий пример перпендикулярных прямых, которые помогают определять положение точек в пространстве.

3. Перпендикулярность в чертежах и схемах. При создании строительных чертежей используются перпендикуляры для обозначения стен и углов зданий.

Перпендикулярные прямые повсюду в нашей жизни: они образуют основу архитектурных конструкций, как, например, в стенах и полах зданий, которые встречаются под прямыми углами для устойчивости и прочности. Дорожные перекрестки также часто устроены как перпендикулярные пересечения улиц, что облегчает движение транспорта. В городских планах перпендикулярные линии формируют сеть улиц и кварталов, а в мебели, от столов до стульев, они обеспечивают устойчивость и симметрию.

Проверьте себя

1. Проведите перпендикулярную прямую к заданной прямой через точку вне этой прямой. Используйте линейку и циркуль.
2. Найдите точку, которая лежит на прямой и перпендикулярна другой данной прямой.
3. Ответьте на вопрос: если две прямые перпендикулярны третьей прямой, будут ли они параллельны друг другу?

---

Перпендикулярные прямые — фундаментальная тема в геометрии, которая развивает понимание пространства и учит точности в построениях. Понимание этого понятия даёт базу для дальнейшего изучения геометрических фигур, треугольников, многогранников и чертежей.

Если ребёнок испытывает трудности при работе с перпендикулярными прямыми, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите на занятия к репетиторам нашей платформы! Первый урок — бесплатный 💜