Основное свойство пропорции

Представьте, что вы делите яблоки между друзьями поровну или рассчитываете, сколько краски нужно для стен. В таких ситуациях помогает пропорция — это математический инструмент, который делает расчёты быстрыми и точными. Сегодня мы разберём основное свойство пропорции, которое упрощает решение многих задач. Оно работает как волшебный ключ: узнайте его — и прoпорции станут вашими лучшими помощниками в геометрии, физике и в повседневной жизни.

Определение пропорции, крайние и средние члены прoпорции

Пропорция — это равенство двух отношений, которое записывается так:

a : b = c : d

или в виде равенства дробей:

где все члены прoпорции отличны от нуля: a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0.

В пропорции выделяют крайние члены (первые и последние: a и d) и средние члены (середина: b и c).

Например, в пропoрции 

2 : 4 = 6 : 12

1. крайние: 2 и 12.
2. средние: 4 и 6.

Проверим ⤵

Равно. Значит это и есть пропорция.

Основное свойство пропорции

т.е. для пропoрции

выполняется равенство a ⋅ d = b ⋅ c

👉 Это свойство верно для любой пропорции. Оно помогает быстро проверить, верна ли пропорция, и находить неизвестные значения.

Пример проверки ⤵

В пропорции 3 : 5 = 9 : 15 произведение крайних: 3 ⋅ 15 = 45, произведение средних: 5 ⋅ 9 = 45. Равно — пропорция верна.

Примеры применения основного свойства пропорции

Рассмотрим применение основного свойства на практике.

Пример 1. Является ли выражение 4 : 7 = 12 : 21 пропорцией?

Решение ⤵

Произведение крайних: 4 ⋅ 21 = 84, произведение средних: 7 ⋅ 12 = 84. 

84 = 84, значит исходное выражение — пропорция.

Ответ: является.

Пример 2. Задача на скорость. Машина проезжает 120 км за 2 часа. Сколько километров она проедет за 5 часов?

Решение ⤵

Составим пропорцию по условию задачи: 

2 : 120 = 5 : x

Воспользовавшись основным свойством прoпорции запишем равенство:

2 ⋅ x = 120 ⋅ 5. 

Найдём х: 

2 ⋅ х = 120 ⋅ 5 
2  ⋅ х = 600
х = 600 : 2
x = 300.

Ответ: 300 км проедет машина за 5 часов.

📝 Упражнение для самопроверки

Попробуйте решить задачу самостоятельно. 

Задача. В магазине 3 кг яблок стоят 150 рублей. Сколько стоят 7 кг?

Решение ⤵

1. Составим пропорцию по условию задачи:

3 : 150 = 7 : x

2. Применим основное свойство пропорции и получим: 

3 ⋅ х = 150 ⋅ 7

3 ⋅ х = 1050

х = 1050 : 3

х = 350.

Ответ: 350 рублей.

Если решили правильно — супер! Если нет, вернитесь к примерам и внимательно рассмотрите их решение.

Основное свойство прoпорции — это надёжный инструмент для решения задач по математике. Оно упрощает расчёты и помогает видеть взаимосвязь между числами. Практикуйтесь на примерах из жизни, и математика станет понятнее.