Обыкновенные дроби

Обыкновенные дроби — одна из ключевых тем математики, изучаемая в 5–6-х классах. Знание и умение работать с дробями необходимо для решения многих задач как в учёбе, так и в повседневной жизни. В этой статье мы рассмотрим основные понятия, свойства и операции с обыкновенными дробями, а также связь с десятичными дробями и практическое применение.

Опрeделение доли 

Доля — это часть целого. Представьте себе, что у вас есть большой пирог. Если вы разделите этот пирог на части, каждая часть будет долей пирога.

Примеры долей

Половина — это одна из самых известных долей. Если вы разделите пирог на две равные части, каждая часть будет называться половиной. Половина пишется как 1/2.

Четверть — это ещё одна важная доля. Если вы разделите пирог на четыре равные части, каждая часть будет называться четвертью. Четверть пишется как 1/4.

Если вы разделите что-то на три равные части, каждая часть будет называться одной третью. Одна треть пишется как 1/3.

 Доли можно записывать в виде дробей.

Примеры:

1. Если пирог разделили на 8 равных частей, и вы съели 3 из них, то вы съели 3/8 пирога.
2. Шоколадка разделена на 12 кусочков. Вы съели 5 кусочков, значит, вы съели 5/12​ шоколадки.
3. Пицца разделена на 6 равных частей. Если взять 2 части, то будет взята 2/6 или 1/3 пиццы.

Определениe обыкновенной дроби

Дробь — это число, представляющее часть целого.

Обыкновенная дробь состоит из двух чисел:

1. Числитель (число сверху) — показывает, сколько частей у нас есть.
2. Знаменатель (число снизу) — показывает, на сколько частей разделено целое.

Дроби записываются в виде a/b​, где a — числитель, а b — знаменатель. Числитель указывает количество частей, которые мы берём, а знаменатель показывает, на сколько частей делится целое.

Представьте, что у вас есть пирог, который вы разделили на 4 равные части. Если вы взяли 1 часть из 4, это можно записать как дробь:

1. Числитель — 1, потому что вы взяли одну часть.
2. Знаменатель — 4, потому что пирог разделён на 4 части.

Таким образом, дробь будет записана как 1/4.

Определeние десятичной дроби

Десятичная дробь — это способ записывать числа, которые находятся между целыми числами. В отличие от обыкновенных дробей, где целое число делится на несколько частей, десятичные дроби используют десятичную запятую (или точку), чтобы показать, как дробные части относятся к целому числу.

Десятичная дробь записывается с помощью десятичной запятой (или точки). Например:

1. 0,5;
2. 2,75;
3. 0,125.

В этих дробях:

1. Числа перед десятичной запятой (или точкой) — это целая часть.
2. Числа после десятичной запятой (или точки) — это дробная часть.

Связь обыкновенной и десятичной дробей

Обыкновенные и десятичные дроби тесно связаны. Любую обыкновенную дробь можно записать в виде десятичной, и наоборот.

Пример:

1. Обыкновенная дробь 1/2 в десятичной форме записывается как 0,5.
2. Десятичная дробь 0,25 в обыкновенной форме записывается как 1/4.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить числитель на знаменатель. Вот как это делается:

1. 1/2: разделите 1 на 2. Результат — 0,5. Поэтому 1/2 = 0,5.
2. 3/4: разделите 3 на 4. Результат — 0,75. Поэтому 3/4 = 0,75.
3. 7/8: разделите 7 на 8. Результат — 0,875. Поэтому 7/8 = 0,875.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, нужно понять, сколько цифр находится после десятичной запятой и записать дробь соответствующим образом:

1. 0,5: это 5 десятых, или 5/10. Упрощая дробь, получаем 1/2.
2. 0,75: это 75 сотых, или 75/100. Упрощая дробь, получаем 3/4.
3. 0,875: это 875 тысячных, или 875/1000. Упрощая дробь, получаем 7/8.

Обыкновенные дроби: свойства

Дроби имеют несколько ключевых свойств, которые помогают в их использовании и понимании. 

1. Дробь не имеет значения, если знаменатель равен нулю.
Это свойство утверждает, что дробь с нулевым знаменателем не имеет смысла в математике, так как деление на ноль невозможно. Например, дробь 5/0​ не определена.

2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Если числитель дроби равен нулю, а знаменатель ненулевой, то дробь всегда равна нулю. Например, дробь 0/7 равна нулю, так как числитель равен нулю, несмотря на значение знаменателя.

3. Две дроби a/b​ и c/d называются равными, если a ⋅ d = b ⋅ c.
Это свойство говорит о том, что две дроби равны, если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй дроби равно произведению числителя второй дроби на знаменатель первой дроби. Например, дроби 2/3​ и 4/6 равны, так как 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4.

4. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Это свойство позволяет упростить дробь или привести её к удобному виду для вычислений.

Действия с дробями

Сравнение дробей

Срaвнение дробей важно для понимания их величин относительно друг друга. Чтобы сравнить дроби, можно воспользоваться несколькими методами:

→ Сравнeние дробей с одинаковым знаменателем: если дроби имеют одинаковый знаменатель, то сравнение производится по числителям. Например, для дробей 3/8 и ⅝ достаточно сравнить числители 3 и 5. Поскольку 5 больше 3, дробь 5/8 больше, чем 3/8​.
→ Сравнениe дробей с разными знаменателями: в этом случае удобнее привести дроби к общему знаменателю. После приведения дробей к общему знаменателю сравнение осуществляется по числителям. Например, для дробей ⅖ и 3/7​:

1. Находим общий знаменатель: 35.
2. Приводим дроби к общему знаменателю: 

1. Сравниваем числители: 14 и 15. Следовательно, 3/7 больше, чем 2/5​.

Сокращение дробей

Сокращение дробей помогает упростить их вид и облегчить дальнейшие вычисления. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

Пример 1. Упростим дробь 18/24:

1. Находим НОД числителя и знаменателя. В данном случае НОД 18 и 24 равен 6.
2. Делим числитель и знаменатель на 6: 

Пример 2. Упростим дробь 50/75​:

1. НОД числителя и знаменателя равен 25.
2. Делим числитель и знаменатель на 25: 

Сложение и вычитание дробей

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю, если он у них разный.

Сложение обыкновенных дробей:

Шаг 1. Найдите общий знаменатель дробей.

Шаг 2. Приведите дроби к общему знаменателю.

Шаг 3. Сложите числители дробей и оставьте общий знаменатель.

Пример:

1. Общий знаменатель для 4 и 6 — 12.
2. Приводим дроби к общему знаменателю: 

1. Сложение:

Вычитание обыкновенных дробей:

Шаг 1. Найдите общий знаменатель дробей.

Шаг 2. Приведите дроби к общему знаменателю.

Шаг 3. Вычтите числители дробей и оставьте общий знаменатель.

Пример: 

1. Общий знаменатель для 8 и 3 — 24.
2. Приводим дроби к общему знаменателю: 

1. Вычитание: 

Умножение и деление дробей

Умножение обыкновенных дробей:

1. Умножьте числители дробей между собой.
2. Умножьте знаменатели дробей между собой.
3. Упростите дробь при необходимости.

Пример: 

1. Умножаем числители: 2 ∙ 3 = 6.
2. Умножаем знаменатели: 5 ∙ 4 = 20.
3. Результат:

упрощаем до 

Деление обыкновенных дробей:

1. Умножьте первую дробь на обратную вторую дробь (инвертируйте вторую дробь).
2. Упростите дробь при необходимости.

Пример: 

1. Переворачиваем вторую дробь:

1. Умножаем: 

Обыкновенные дроби: практика решения задач

Задача 1. Обыкновенные дроби: сравнение дробей.

Сравните дроби 7/10 и 3/5 и укажите, какая из них больше.

Решение:

1. Найдём общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 10 и 5 — 10.
2. Приведём дроби к общему знаменателю:

3. Сравниваем числители: 7 и 6. Поскольку 7 больше 6, дробь 7/10 больше, чем 3/5​.

Ответ: 7/10 больше 3/5​.

Задача 2. Обыкновенные дроби: сокращение дробей.

Упростите дробь 36/48​.

Решение:

1. Найдите НОД числителя и знаменателя. В данном случае НОД 36 и 48 равен 12.
2. Разделите числитель и знаменатель на 12:

Ответ: 3/4.

Задача 3. Сложение дробей.

Найдите результат сложения дробей 5/6​ и 2/9​.

Решение:

1. Найдите общий знаменатель дробей. Общий знаменатель для 6 и 9 — 18.
2. Приведите дроби к общему знаменателю:

3. Сложите дроби:

4. Преобразуйте дробь в смешанное число, если нужно:

Ответ: 

Задача 4. Вычитание дробей.

Найдите результат вычитания дробей 7/8​ и 3/10​.

Решение:

1. Найдите общий знаменатель дробей. Общий знаменатель для 8 и 10 — 40.
2. Приведите дроби к общему знаменателю:

3. Вычтите дроби:

Ответ: 23/40​.

Задача 5. Умножение дробей.

Найдите результат умножения дробей 3/7​ и 5/6​.

Решение:

1. Умножьте числители дробей:

3 ∙ 5 = 15.

2. Умножьте знаменатели дробей:

7  ∙ 6 = 42.

3. Запишите результат:

4. Упростите дробь:

НОД 15 и 42 равен 3.

Ответ: 5/14.

Задача 6. Обыкновенные дроби: деление дробей.

Найдите результат деления дробей 4/9​ и 2/5​.

Решение:

1. Переверните вторую дробь:

2/5​ становится 5/2​.

2. Умнoжьте первую дробь на перевёрнутую вторую дробь:

3. Умножьтe числители:

4 ∙ 5 = 20.

4. Умножьте знаменатели:

9 ∙ 2 = 18.

5. Запишите результат:

6. Упростите дробь:

НОД 20 и 18 равен 2.

Ответ: 10/9.

---

Обыкновенные дроби — это важный математический инструмент, который используется для представления частей целого. Понимание и умение работать с дробями необходимо для решения множества задач в учёбе и повседневной жизни. 

Если ребёнок испытывает трудности в понимании обыкновенных дробей, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия ✨

Первый вводный урок с репетитором — бесплатный. Записаться можно по форме ниже ⤵