Область определения функции

В 7-9-х классах ученики рассматривают более сложные математические понятия, включая функции и их свойства. Одним из важнейших аспектов работы с функциями является область определения — множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Понимание области определения помогает избежать ошибок при решении задач и построении графиков. В этой статье мы разберём, что такое область определения функции, как её находить для различных типов функций и приведём примеры.

Понятие области определения функции

📎 Функция — это зависимость одной переменной от другой. Если каждому значению x из некоторого множества соответствует одно значение y, то говорят, что на этом множестве задана функция.

1. Переменную x называют независимой переменной или аргументом.
2. Переменную y называют зависимой переменной или функцией.
3. Зависимость y от x называют функциональной зависимостью и записывают так: y = f(x).

📎 Область определения функции — это множество всех значений аргумента x, для которых функция имеет смысл. Геометрически это можно представить как проекцию графика функции на ось Ox.

Для обозначения области определения функции y используют запись D(y). Например:

1. Для функции y = x² область определения — это все действительные числа (D(y): x ∈ R).
2. Для функции y = 1/x область определения исключает x = 0, так как деление на ноль невозможно (D(y): x ≠ 0).

📎 Множество значений функции — это все значения, которые функция может принимать при подстановке допустимых значений x. Геометрически это можно представить как проекцию графика функции на ось Oy. Например:

1. Для функции y = x² множество значений — это все числа, большие или равные нулю (E(y): y ≥ 0).
2. Для функции y = √x множество значений также будет E(y): y ≥ 0, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

Примеры записи:

1. Все действительные числа от 10 до 15, включая границы: [10; 15].
2. Все положительные числа: (0; +∞).
3. Все числа, кроме 3: (−∞; 3) ∪ (3; +∞).

📎 Область определения — это неотъемлемая часть самой функции. Без неё невозможно точно описать поведение функции, построить её график или решить задачу. Например:

1. Для функции y = √x область определения x ≥ 0, так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах.
2. Для функции y = 1/(x — 2) область определения x ≠ 2, так как знаменатель не может быть равен нулю.

График функции всегда строится только для тех значений x, которые входят в область определения. Например:

1. График функции y = √x существует только для x ≥ 0.
2. График функции y = 1/x «разрывается» в точке x = 0, так как функция здесь не определена.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — это неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем её область определения. На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x² и другие. А области их определения изучаем как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций ⤵

1️⃣ Область определения постоянной функции

Область определения функции — это множество значений x, которые можно подставить в формулу. Для постоянной функции ограничений нет: вы можете подставить любое число, будь то положительное, отрицательное, дробное или даже ноль. Функция всё равно «работает», потому что она просто возвращает одно и то же значение C.

Математически это можно записать так:
D(y) = (-∞; +∞) .
Это означает, что x может быть любым действительным числом.

Пример 1
Рассмотрим функцию y = 2.

Подставим x = -10: y = 2.

Подставим x = 0: y = 2.

А затем подставим x = 100: y = 2.
Как видите, значение y не меняется, и функция определена для всех x.

Пример 2
Возьмём функцию y = -4.

При x = 3,14: y = -4.

При x = -1000: y = -4.

А при x = 0: y = -4.
Снова видим, что функция работает для всех значений x.

Область определения постоянной функции — это множество всех действительных чисел: D(y) = (-∞; +∞).
Это универсальное правило для любой постоянной функции, независимо от её значения C.

2️⃣ Oбласть определения функции с корнем

Функции, содержащие корни, часто встречаются в математике и имеют свои особенности. Чтобы понять их область определения, нужно учитывать, какой корень используется — чётный или нечётный. 

1. Корень с чётным показателем

Если показатель корня чётный (например, n = 2, 4, 6… ), то подкоренное выражение x должно быть неотрицательным. Это связано с тем, что извлечение корня чётной степени из отрицательного числа невозможно в действительных числах.

Примеры:

1. Для функции y = √x (квадратный корень) допустимы только значения x ≥ 0.
2. Для функции y = ⁴√x (корень четвёртой степени) также требуется x ≥ 0.

Область определения:
Если n — чётное, то область определения:
D(y): x ∈ [0; +∞).

2. Корень с нечётным показателем

Если показатель корня нечётный (например, n = 3, 5, 7… ), то ограничений на подкоренное выражение нет. Такие корни можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Примеры:

1. Для функции y = ³√x (кубический корень) допустимы любые значения x: положительные, отрицательные и ноль.
2. Для функции y = ⁵√x (корень пятой степени) также область определения — все действительные числа.

Область определения:
Если n — нечётное, то область определения:
D(y): x ∈ (-∞; +∞).

Пример 1
Найдите область определения функции y = √(x — 3).

Подкоренное выражение: x — 3 ≥ 0.

Решаем неравенство: x ≥ 3.

Ответ: D(y): x ∈ [3; +∞).

Пример 2
Найдите область определения функции y = ³√(x + 5).

Показатель корня нечётный, значит, ограничений нет.

Ответ: D(y): x ∈ (-∞; +∞).

Пример 3
Найдите область определения функции y = √(x² — 4).

Подкоренное выражение: x² — 4 ≥ 0 .

Решаем неравенство: (x — 2)(x + 2) ≥ 0.

Ответ: D(y): x ∈ (-∞; -2] ∪ [2; +∞).

3️⃣ Область определения степенной функции

Степенная функция — это одна из самых распространённых функций в математике, и она записывается в виде:
y = xª,
где x — это переменная (аргумент), а — показатель степени.

Область определения такой функции зависит от значения показателя a. 

1. Если a — положительное целое число

Когда показатель степени a является целым положительным числом (например, 1, 2, 3, …), то функция определена для всех действительных значений x.

Примеры:

1. Для функции y = x² область определения: D(y): x ∈ (-∞; +∞).
2. Для функции y = x⁵ область определения также: D(y): x ∈ (-∞; +∞).

Объяснение:
Любое число можно возвести в целую положительную степень, поэтому ограничений нет.

2. Если a — положительное, но нецелое число

Если показатель степени a положительный, но не является целым числом (например, 0.5, √2, π), то функция определена только для неотрицательных значений x.

Примеры:

1. Для функции  y = √x (то же самое, что икс в степени одна вторая) область определения: D(y): x ∈ [0; +∞).

Объяснение:
Нецелые показатели степени связаны с корнями, а корни чётной степени не могут быть извлечены из отрицательных чисел. Поэтому такие функции существуют только для x ≥ 0.

3. Если a — отрицательное целое число

Когда показатель степени a является целым отрицательным числом (например, -1, -2, -3, …), то функция определена для всех x, кроме x = 0. Это связано с тем, что деление на ноль невозможно.

Примеры:

1. Для функции y = x⁻¹ (то же самое, что y = 1/x) область определения: D(y): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
2. Для функции y = x⁻³ область определения также: D(y): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Объяснение:
Отрицательные целые показатели приводят к дробям, где x стоит в знаменателе. Поэтому x = 0 исключается из области определения.

4. Если a — отрицательное, но нецелое число

Если показатель степени a отрицательный и не является целым числом (например, -0.5, -√2, -π), то функция определена только для положительных значений x.

Примеры:

1. Для функции  y = 1/√x область определения: D(y): x ∈ (0; +∞).

Объяснение:
Такие функции сочетают в себе особенности корней и дробей. Корни требуют, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а дроби исключают x = 0. Поэтому допустимы только положительные значения x.

5. Если a = 0

Если показатель степени a = 0, то функция принимает вид y = x⁰ = 1. Однако есть важное исключение: 0⁰ не имеет смысла в математике. Поэтому функция определена для всех x, кроме x = 0.

Пример:

1. Для функции y = x⁰ область определения: D(y): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Объяснение:
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, но 0⁰ считается неопределённым выражением.

Пример 1
Найдите область определения функции y = x³.

Показатель степени a = 3 — целое положительное число.

Область определения: D(y): x ∈ (-∞; +∞).

Пример 2
Найдите область определения функции y = x^(1/3) .

Показатель степени a = 1/3 — положительное нецелое число.

Область определения: D(y): x ∈ [0; +∞).

Пример 3
Найдите область определения функции y = x⁻².

Показатель степени a = -2 — целое отрицательное число.

Область определения: D(y): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Пример 4
Найдите область определения функции y = x^(-√3).

Показатель степени a = -√3 — отрицательное нецелое число.

Область определения: D(y): x ∈ (0; +∞) .

4️⃣ Область определения показательной функции

Показательная функция — это одна из самых важных и часто встречающихся функций в математике. Она записывается в виде:
y = aˣ, где a > 0 и a ≠ 1 , а x — это показатель степени (аргумент функции).

Область определения такой функции всегда одинакова, независимо от значения основания a. 

Показательная функция описывает процесс, при котором величина изменяется экспоненциально. Например, рост населения, размножение бактерий или радиоактивный распад можно описать с помощью таких функций.

Основные свойства:

1. Основание a должно быть положительным (a > 0) и не равным единице (a ≠ 1).
2. Значение функции всегда положительно (y > 0), независимо от значения x.

Показательная функция y = aˣ определена для любых значений x, будь то положительные, отрицательные или нулевые. Это связано с тем, что:

1. Любое положительное число a можно возвести в любую степень x, включая дробные и отрицательные значения.
2. Нет ограничений на значения x, которые могут быть подставлены в формулу.

Таким образом, область определения показательной функции всегда:
D(y): x ∈ (-∞; +∞).

Пример 1
Рассмотрим функцию y = 2ˣ:

1. Область определения: D(y): x ∈ (-∞; +∞).
2. График этой функции растёт вверх при увеличении x.

Пример 2
Рассмотрим функцию y = (1/3)ˣ:

1. Область определения: D(y): x ∈ (-∞; +∞).
2. График этой функции убывает при увеличении x.

Пример 3
Рассмотрим функцию y = eˣ , где e ≈ 2,718 — это основание натурального логарифма:

1. Область определения: D(y): x ∈ (-∞; +∞).
2. График этой функции также растёт вверх при увеличении x.

5️⃣Oбласть определения логарифмической функции

Логарифмическая функция — это одна из важнейших функций в математике, которая часто используется для моделирования различных процессов, таких как рост населения, затухание радиации или расчёт сложных процентов. Она записывается в виде:

y = logₐ(x), где a > 0 , a ≠ 1 , а x — это аргумент функции (логарифмируемое число).

Логарифмическая функция описывает зависимость, при которой значение y показывает, в какую степень нужно возвести основание a, чтобы получить число x.

Пример:

Для функции y = log₂(x) значение y = 3 означает, что 2³ = x , то есть x = 8.

Пример 1
Рассмотрим функцию y = log₂(x):

Область определения: D(y): x ∈ (0; +∞) .

График этой функции растёт вверх при увеличении x.

Пример 2
Рассмотрим натуральный логарифм y = ln(x), где основание a = e ≈ 2,718.

Область определения: D(y): x ∈ (0; +∞).

График этой функции также растёт вверх при увеличении x.

6️⃣ Область определения тригонометрических функций

Тригонометрические функции — это особый класс функций, которые широко используются в математике, физике и других науках. Они описывают периодические процессы, такие как колебания, волны и движения. Рассмотрим, как выглядит область определения для основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

1. Синус (y = sin(x))

Функция синуса задаётся формулой y = sin(x).

Область определения:
Синус определён для всех действительных значений, то есть: D(sin): x ∈ (-∞; +∞).

Объяснение:
Функция синуса связана с единичной окружностью, где каждому углу x соответствует значение синуса. Поскольку угол может быть любым числом (положительным, отрицательным или нулём), ограничений на x нет.

2. Косинус (y = cos(x))

Функция косинуса задаётся формулой y = cos(x).

Область определения:
Косинус также определён для всех действительных значений x : D(cos): x ∈ (-∞; +∞).

Объяснение:
Как и синус, косинус связан с единичной окружностью, и его значение существует для любого угла x.

3. Тангенс (y = tg(x))

Функция тангенса задаётся формулой y = tg(x), которая равна отношению синуса к косинусу: tg(x) = sin(x) / cos(x).

Область определения:
Тангенс определён для всех значений x, кроме тех, при которых cos(x) = 0, так как деление на ноль невозможно. Это происходит в точках:
x ≠ π/2 + πk , где k ∈ Z (любое целое число).
Таким образом, область определения:
D(tg): x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z.

Объяснение:
Тангенс имеет разрывы в точках, где косинус обращается в ноль, так как это приводит к делению на ноль.

4. Котангенс (y = ctg(x))

Функция котангенса задается формулой y = ctg(x), которая равна отношению косинуса к синусу: ctg(x) = cos(x) / sin(x).

Область определения:
Котангенс определён для всех значений x, кроме тех, при которых sin(x) = 0, так как деление на ноль невозможно. Это происходит в точках:
x ≠ πk , где k ∈ Z (любое целое число).
Таким образом, область определения:
D(ctg): x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z.

Объяснение:
Котангенс имеет разрывы в точках, где синус обращается в ноль, так как это приводит к делению на ноль.

Пример 1
Найдите область определения функции y = tg(2x).

1. Условие: cos(2x) ≠ 0.
2. Решаем: 2x ≠ π/2 + πk , где k ∈ Z.
3. Делим на 2: x ≠ π/4 + πk/2 , где k ∈ Z.
4. Ответ: D(y): x ∈ R, x ≠ π/4 + πk/2, k ∈ Z.

Пример 2
Найдите область определения функции y = ctg(x/3).

1. Условие: sin(x/3) ≠ 0.
2. Решаем: x/3 ≠ πk , где k ∈ Z.
3. Умножаем на 3: x ≠ 3πk , где k ∈ Z.
4. Ответ: D(y): x ∈ R, x ≠ 3πk, k ∈ Z.

7️⃣ Oбласть определения обратных тригонометрических функций 

Обратные тригонометрические функции — это особый класс функций, которые «обращают» действие основных тригонометрических функций. Они широко применяются в математике, физике и инженерии для решения уравнений и моделирования процессов.

1. Арксинус (y = arcsin(x))

Функция арксинуса задаётся формулой y = arcsin(x). Она является обратной к функции синуса на отрезке [-π/2; π/2].

Область определения:
Арксинус определён только для значений x, которые лежат в интервале [-1; 1]. Это связано с тем, что синус принимает значения только в этом диапазоне.
Таким образом: D(arcsin): x ∈ [-1; 1].

Объяснение:
Если значение x выходит за пределы [-1; 1], то найти угол, синус которого равен x, невозможно.

2. Арккосинус (y = arccos(x))

Функция арккосинуса задаётся формулой y = arccos(x). Она является обратной к функции косинуса на отрезке [0; π].

Область определения:
Арккосинус также определён только для значений x, которые лежат в интервале [-1; 1]: D(arccos): x ∈ [-1; 1].

Объяснение:
Как и в случае с арксинусом, косинус принимает значения только в диапазоне [-1; 1]. Поэтому арккосинус существует только для этих значений.

3. Арктангенс (y = arctg(x))

Функция арктангенса задаётся формулой y = arctg(x). Она является обратной к функции тангенса на интервале (-π/2; π/2).

Область определения:
Арктангенс определён для всех действительных значений x: D(arctg): x ∈ (-∞; +∞).

Объяснение:
Тангенс может принимать любые действительные значения, поэтому арктангенс существует для всех x.

4. Арккотангенс (y = arcctg(x))

Функция арккотангенса задаётся формулой y = arcctg(x). Она является обратной к функции котангенса на интервале (0; π).

Область определения:
Арккотангенс определён для всех действительных значений x: D(arcctg): x ∈ (-∞; +∞).

Объяснение:
Котангенс может принимать любые действительные значения, поэтому арккотангенс существует для всех x.

Пример 1
Найдите область определения функции y = arcsin(2x).

Условие: -1 ≤ 2x ≤ 1.

Решаем неравенство: -1/2 ≤ x ≤ 1/2.

Ответ: D(y): x ∈ [-1/2; 1/2].

Пример 2
Найдите область определения функции y = arccos(x — 3).

Условие: -1 ≤ x — 3 ≤ 1.

Решаем неравенство: 2 ≤ x ≤ 4.

Ответ: D(y): x ∈ [2; 4].

Пример 3
Найдите область определения функции y = arctg(1/x).

Условие: x ≠ 0 (так как деление на ноль невозможно).

Ответ: D(y): x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Таблица областей определения функций

Мы разобрали области определения основных функций, которые встречаются в математике. Эти знания помогут вам решать задачи, строить графики и анализировать поведение функций.

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к репетиторам нашей онлайн-школы.

Первое занятие по форме ниже — бесплатное!