Наибольший общий делитель

В 5-м классе школьной программы важное место занимает изучение наибольшего общего делителя (НОД). Понимание НОД помогает решать множество задач, связанных с делением чисел. В этой статье мы подробно разберём, что такое наибольший общий делитель, как его найти и какие методы для этого существуют. Мы также рассмотрим примеры, чтобы разобрать теорию более подробно.

Понятие наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель двух или более чисел — это самое большое число, на которое эти числа можно разделить без остатка. Например, НОД чисел 12 и 18 равен 6, потому что 6 — это самое большое число, на которое делятся оба числа без остатка.

Понятие наибольшего общего делителя было известно ещё в древние времена. Древнегреческий математик Евклид в своей работе «Начала» впервые объяснил метод, который теперь называется его именем. Этот метод до сих пор является одним из самых эффективных способов нахождения НОД.

Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя с помощью разложения на множители

Одним из способов нахождения НОД является разложение чисел на простые множители. Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел с помощью разложения на простые множители состоит из следующих шагов:

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Определить общие простые множители.
3. Записать каждый общий множитель столько раз, сколько он встречается в разложении обоих чисел наименьшее количество раз.
4. Перемножить выбранные множители.

Пример 1

Найдите наибольший общий делитель чисел 18 и 24.

1. Разложение на простые множители: 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 и 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3.

2. Общие множители: 2 и 3.

3. Перемножение общих множителей: 2 ∙ 3 = 6.

Таким образом, НОД чисел 18 и 24 равен 6.

Пример 2

Найдите наибольший общий делитель чисел 45 и 75.

1. Разложение на простые множители: 45 = 3 ∙ 3 ∙ 5 и 75 = 3 ∙ 5 ∙ 5.

2. Общие множители: 3 и 5.

3. Перемножение общих множителей: 3 ∙ 5 = 15.

Таким образом, НОД чисел 45 и 75 равен 15.

Алгоритм Евклида

Это более быстрый способ нахождения НОД, основанный на использовании остатков от деления. Алгоритм заключается в следующем:

1. Делим большее число на меньшее и находим остаток.
2. Заменяем большее число на меньшее, а меньшее на остаток.
3. Повторяем процесс до тех пор, пока остаток не станет равным нулю. НОД равен последнему ненулевому остатку.

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 48 и 18.

1. 48 ÷ 18 = 2 (остаток 12);

2. 18 ÷ 12 = 1 (остаток 6);

3. 12 ÷ 6 = 2 (остаток 0).

Таким образом, НОД чисел 48 и 18 равен 6.

Пример 4

Найдите наибольший общий делитель чисел 101 и 103.

1. 103 ÷ 101 = 1 (остаток 2);

2. 101 ÷ 2 = 50 (остаток 1);

3. 2 ÷ 1 = 2 (остаток 0).

Таким образом, НОД чисел 101 и 103 равен 1, так как они взаимно простые.

Свойства наибольшего общего делителя

Наибольший общий делитель (НОД) двух или более чисел имеет несколько интересных свойств, которые могут помочь в решении задач. 

1. НОД и умножение чисел на другое число

Если оба числа умножить на одно и то же число, то их наибольший общий делитель (НОД) также умножится на это число.

Пример: НОД чисел 12 и 15 равен 3.

Если умножим 12 и 15 на 2, получим 24 и 30. НОД чисел 24 и 30 будет равен НОД чисел 12 и 15, умноженному на 2, то есть 6.

2. НОД и делимость

Если одно число делится на другое, то НОД этих чисел равен меньшему из них.

Пример: НОД чисел 20 и 5. 20 делится на 5. Поэтому НОД равен 5.

3. НОД и 0

НОД любого числа и 0 равен этому числу.

Пример: НОД чисел 17 и 0 равен 17. Потому что 17 делится на 0 без остатка.

4. НОД и одинаковые числа

НОД двух одинаковых чисел равен этому числу.

Пример: НОД чисел 7 и 7 равен 7. Потому что оба числа одинаковы, и наибольшее число, на которое можно разделить оба, это само число.

5. НОД и свойства взаимно простых чисел

Если два числа не имеют общих делителей, кроме 1, то НОД этих чисел равен 1. Такие числа называются взаимно простыми.

Пример: НОД чисел 9 и 14 равен 1, потому что 9 и 14 не имеют общих делителей, кроме 1.

6. НОД и разность чисел

НОД двух чисел также равен НОД их разности и меньшего числа.

Пример: НОД чисел 30 и 12. Разность 30 и 12 равна 18. НОД чисел 18 и 12 равен НОД чисел 30 и 12, то есть 6.

Эти свойства помогают легко находить НОД и решать задачи, связанные с делимостью чисел. Понимание этих свойств делает работу с НОД более удобной и быстрой.

Решение задач на нахождение наибольшего общего делителя

Для лучшего понимания рассмотрим несколько задач по нахождению НОД ↓

Задача 1

Найдите наибольший общий делитель чисел 56 и 98 с помощью алгоритма Евклида.

1. 98 ÷ 56 = 1 (остаток 42).

2. 56 ÷ 42 = 1 (остаток 14).

3. 42 ÷ 14 = 3 (остаток 0).

Ответ: НОД равен 14.

Задача 2

Найдите наибольший общий делитель чисел 36 и 60 с помощью разложения на множители.

1. Разложение на множители: 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 и 60 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5.

2. Общие множители: 2, 2, и 3.

3. Перемножение: 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ответ: НОД равен 12.

Задача 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 84 и 120 с помощью разложения на множители.

1. Разложение на множители: 84 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 и 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5.

2. Общие множители: 2, 2, и 3.

3. Перемножение: 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

Ответ: НОД равен 12.

Задача 4

Найдите наибольший общий делитель чисел 121 и 242 с помощью алгоритма Евклида.

1. 242 ÷ 121 = 2 (остаток 0).

Ответ: НОД равен 121.

Итак, мы узнали:

1. Наибольший общий делитель (НОД) — это ключевое понятие, которое помогает решать множество задач, связанных с делимостью чисел.
2. Рассмотрели два основных метода нахождения НОД: разложение на множители и алгоритм Евклида.
3. Использование этих простых и эффективных методов позволяет быстро находить НОД даже для больших чисел.

Если ребёнок испытывает трудности в вычислении наибольшего общего делителя, воспользуйтесь материалами статьи для тренировки или приходите к нам на занятия 💜