Квадратичная функция: построение параболы 

Квадратичная функция является одной из важнейших тем в курсе алгебры 8–9-х классов. Она помогает понять, как строить графики, анализировать их свойства и решать задачи, связанные с реальными ситуациями. График квадратичной функции называется параболой и имеет множество практических применений: от описания траектории движения тела до моделирования экономических процессов.

В этой статье мы рассмотрим основные определения, способы построения параболы и алгоритмы работы с разными формами уравнений квадратичной функции.

Основные определения

📎 Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c , где a = 0, x — независимая переменная, y — зависимая переменная, а a, b, c — коэффициенты.

График квадратичной функции — это парабола:

1. Если a > 0 , то ветви параболы направлены вверх.
2. Если a < 0 , то ветви параболы направлены вниз.

📎 Вершина параболы — это точка, в которой парабола достигает своего минимума (если a > 0 ) или максимума (если a < 0). Координаты вершины находятся по формулам:

📎 Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину параболы, заданная уравнением x = xв.

📎 Нули функции — это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox), которые находятся как корни уравнения ax² + bx + c = 0.

Построение квадратичной функции

Для построения графика квадратичной функции необходимо выполнить следующие шаги ⤵

1. Определение направления ветвей параболы:

1. Если a > 0 , ветви направлены вверх.
2. Если a < 0 , ветви направлены вниз.

2. Нахождение координат вершины параболы:

3. Вычисление дискриминанта D = b² − 4ac:

1. Если D > 0 , то парабола пересекает ось Ox в двух точках.
2. Если D = 0 , то парабола касается оси Ox в одной точке.
3. D < 0 , то парабола не пересекает ось Ox.

 4. Нахождение точек пересечения с осями координат:

1. Точка пересечения с осью Oy: y(0) = c.
2. Точки пересечения с осью Ox: решите уравнение ax² + bx + c = 0.

5. Построение дополнительных точек.
Составьте таблицу значений функции для нескольких значений x.

6. Построение графика.
Нанесите все найденные точки на координатную плоскость и соедините их плавной линией.

Алгоритм построения параболы 

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы в зависимости от формы уравнения. Наиболее удобный способ выбирается в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

1️⃣ Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax² + bx + c

1. Определить направление ветвей параболы:

1. Если a > 0, ветви направлены вверх.
2. Если a < 0, ветви направлены вниз.

2. Найти дискриминант D = b² — 4ac:

1. Если D > 0, парабола пересекает ось Ox в двух точках.
2. Если D = 0, парабола касается оси Ox в одной точке.
3. D < 0, парабола не пересекает ось Ox.

3. Найти координаты вершины параболы:

1. Абсцисса вершины: x₀ = -b/(2a).
2. Ордината вершины: y₀ = f(x₀).

4. Найти точки пересечения с осями координат:

1. С осью Oy: подставить x = 0 в уравнение, y(0) = c.
2. С осью Ox: решить уравнение ax² + bx + c = 0.

5. Построить график:

1. Нанести вершину, точки пересечения с осями и дополнительные точки.
2. Соединить их плавной линией.

2️⃣ Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a(x — x₀)² + y₀

1. Определить координаты вершины параболы:

1. Вершина: (x₀; y₀).

2. Определить направление ветвей параболы:

1. Если a > 0, ветви направлены вверх.
2. Если a < 0, ветви направлены вниз.

3. Найти точку пересечения с осью Oy:

1. Подставить x = 0 в уравнение, y(0) = a(0 — x₀)² + y₀.

4. Найти дополнительные точки:

1. Подставить несколько значений x в уравнение для нахождения соответствующих значений y.

5. Построить график:

1. Нанести вершину, точку пересечения с Oy и дополнительные точки.
2. Соединить их плавной линией.

3️⃣ Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a)(x + b)

1. Найти нули функции:

1. Решить уравнение (x + a)(x + b) = 0.
2. Нули: x₁ = -a, x₂ = -b.

2. Определить координаты вершины параболы:

1. Абсцисса вершины: x₀ = (x₁ + x₂) / 2.
2. Ордината вершины: y₀ = f(x₀).

3. Найти точку пересечения с осью Oy:

1. Подставить x = 0 в уравнение, y(0) = (0 + a)(0 + b).

4. Построить график:

1. Нанести вершину, нули функции и точку пересечения с Oy.
2. Соединить их плавной линией.

Квадратичная функция — это мощный инструмент для анализа и моделирования различных явлений. График квадратичной функции (парабола) позволяет наглядно представить поведение функции и её свойства. Основные этапы построения параболы включают определение направления ветвей, нахождение вершины, вычисление нулей функции и точек пересечения с осями координат. Знание различных форм записи уравнения квадратичной функции позволяет эффективно решать задачи и строить графики. 

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к репетиторам нашей онлайн-школы. Первый урок по форме ниже — бесплатный!