Что такое функция

Функция — это одно из самых важных понятий в математике, с которым ученики начинают знакомиться в 7-м классе. Функция помогает описывать и анализировать взаимосвязи между различными величинами. Например, как меняется температура в течение дня, как зависит стоимость покупки от количества товаров или как движется автомобиль по дороге. Все эти процессы можно описать с помощью функций.

В этой статье мы подробно разберём, что такое функция, как она задаётся и как её можно использовать для решения задач. 

Понятие функции

📎 Функция — это правило, которое каждому значению одной величины (называемой аргументом или x) ставит в соответствие единственное значение другой величины (называемой y).

Обозначается функция обычно как y = f(x) , где:

1. x — независимая переменная (аргумент);
2. y — зависимая переменная (значение функции);
3. f — правило, связывающее x и y.

Ещё один способ понять функцию — представить её как устройство, которое «перерабатывает» входные данные (x) в выходные (y). Например, если вы вводите число в калькулятор, он выполняет операцию и выдаёт результат.

Область определения и область значений ⤵

📎 Oбласть определения — это множество всех допустимых значений x,  при которых функция имеет смысл. Например, для функции y = 1 / x область определения: x ≠ 0 , так как деление на ноль невозможно.

📎 Область значений — это множество всех возможных значений y, которые функция может принимать. Например, для функции y = x² область значений: y ≥ 0, так как квадрат любого числа неотрицателен.

Способы задания функций

Функцию можно описать разными способами. Каждый из них имеет свои особенности и подходит для разных задач. Рассмотрим основные способы задания функций ⤵

1. Задание функции формулой

Это самый распространённый и удобный способ. Функция записывается в виде формулы, которая показывает, как найти значение y, зная значение x. Например:

1. y = 2x + 5 — линейная функция;
2. y = x² − 3x + 4 — квадратичная функция.

Преимущество этого способа в том, что формула позволяет быстро вычислить значение функции для любого значения аргумента. Например, если y = 2x + 5 и x = 3, то:

y = 2 ⋅ 3 + 5 = 6 + 5 = 11.

Также формула помогает анализировать свойства функции, такие как возрастание, убывание или наличие экстремумов.

2. Задание функции таблицей

В этом случае функция задаётся в виде таблицы, где указаны значения x и соответствующие им значения y.

Пример ⤵

Таблица удобна, когда нужно быстро найти конкретные значения функции. Например, из таблицы видно, что при x = −2 значение y = 4. Однако этот способ не всегда нагляден, особенно если нужно понять общее поведение функции.

3. Задание функции графиком

📎 График функции — это множество точек на координатной плоскости, где каждая точка имеет координаты (x;y). График наглядно показывает, как изменяется функция, и помогает анализировать её свойства.

Пример ⤵
Для функции y=x² графиком будет парабола. Если подставить значения x = −2, −1, 0, 1, 2 , то получим точки:

(−2;4), (−1;1), (0;0), (1;1), (2;4).

Эти точки можно отметить на плоскости и соединить плавной линией.График позволяет сразу увидеть, где функция возрастает, где убывает, есть ли максимумы или минимумы.

📌 Важные замечания

1. Выбор способа зависит от задачи:

1. Если нужно быстро вычислить значения, используйте формулу.
2. Если важно наглядно увидеть поведение функции, постройте график.
3. А если данные уже собраны, используйте таблицу.

2. Переход между способами:

1. Из формулы можно построить график или составить таблицу.
2. Из графика можно определить формулу (если график достаточно простой).

---

Функция — это важный инструмент в математике, который помогает описывать зависимости между величинами. Мы рассмотрели три основных способа задания функции: формулой, таблицей и графиком. Каждый из них имеет свои преимущества. Понимание этих способов поможет вам уверенно решать задачи и анализировать процессы в реальной жизни. Продолжайте практиковаться, и вы станете настоящим мастером работы с функциями.

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к репетиторам нашей онлайн-школы. Первый урок по форме ниже — бесплатный!