Цилиндр: объём, площадь поверхности, формулы

Подробно разбираем одну из важнейших пространственных фигур — цилиндр. Эта фигура постоянно встречается в окружающем мире: консервные банки, стаканы, трубы, колонны зданий — всё это примеры цилиндров. Понимание того, как вычислять объём и площадь поверхности цилиндра, необходимо не только для успешной сдачи ЕГЭ, но и для решения множества практических задач в инженерии, архитектуре и повседневной жизни.

Понятие цилиндра

Рассмотрим прямой круговой цилиндр — наиболее распространенный вид цилиндра, который изучается в школьном курсе.

Основные элементы цилиндра

→ Основания — два равных круга радиуса R, лежащие в параллельных плоскостях.

→ Образующая — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований.

→ Высота (h) — расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре равна образующей).

→ Ось цилиндра — прямая, проходящая через центры оснований.

💡 В школьном курсе мы рассматриваем прямой круговой цилиндр, у которого:

1. Основания — круги;
2. Ось перпендикулярна основаниям;
3. Образующие перпендикулярны основаниям.

Объём цилиндра

Объём цилиндра вычисляется по формуле:

V = πR²h

где:

1. R — радиус основания цилиндра;
2. h — высота цилиндра;
3. π ≈ 3,14.

Геометрический смысл: объём цилиндра равен произведению площади основания (S_осн=πR²) на высоту h.

Пример ⤵

Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен 5 см, а высота — 12 см.

Решение:

Запишем формулу: V=πR²h
Подставим значения: R = 5 см, h = 12 см
Вычислим: V = π⋅5²⋅12 = π⋅25⋅12 = 300π (см³)

Если требуется числовое значение: 
V ≈ 300⋅3,14 = 942 (см³)

Ответ: V = 300π см³ или приближённо 942 см³

Площадь поверхности цилиндра

Полная поверхность цилиндра состоит из двух частей:

1. Боковая поверхность;
2. Два основания (верхнее и нижнее).

Площадь боковой поверхности

Представьте, что мы разрезаем боковую поверхность цилиндра по образующей и разворачиваем её на плоскость. Мы получим прямоугольник, ширина которого равна высоте цилиндра h, а длина — длине окружности основания 2πR.

Развёртка цилиндра

Площадь боковой поверхности:

S_бок=2πRh

Площадь оснований

Каждое основание — это круг радиуса R. Площадь одного основания:

S_осн=πR²

Площадь двух оснований:

2S_осн=2πR²

Площадь полной поверхности

Складываем площадь боковой поверхности и площадь двух оснований:

S_полн = 2πRh + 2πR² = 2πR(h+R)

Пример ⤵

Найдите площадь полной поверхности цилиндра с радиусом основания 5 см и высотой 12 см.

Решение:

Площадь боковой поверхности: S_бок = 2πRh = 2π⋅5⋅12 = 120π (см²)
Площадь двух оснований: 2S_осн = 2πR² = 2π⋅5²= 2π⋅25 = 50π (см²)
Полная площадь: S_полн = S_бок + 2S_осн = 120π + 50π = 170π (см²)
Числовое значение: S_полн ≈ 170 ⋅ 3,14 = 533,8 (см²)

Ответ: S_полн = 170π см² или приближённо 533,8 см²

📝 Упражнение для самопроверки

Задание 1. Найдите объём цилиндра, если R = 3 см, h = 7 см.

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

Применим формулу объёма прямого цилиндра: V = πR²h.

Подставляем значения:
R = 3 см, 
h = 7 см: 
V = π⋅3²⋅7 = π⋅9⋅7 = 63π ≈ 197.92 (см³).​

Ответ:  63π см³ или приближённо 197.92 см³.​

Задание 2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если R = 6 см, h = 9 см.

Решение ⤵

Раскройте, чтобы увидеть…

Применим формулу полной поверхности: S = 2πR(R + h)

Для:
R = 6 см, 
h = 9 см: 

S = 2π⋅6⋅(6 + 9) = 12π⋅15 = 180π ≈ 565.49 (см²).

Ответ: 180π или приближённо 565.49 см².

---

Сегодня мы подробно изучили прямой круговой цилиндр — его элементы, формулы объёма и площади поверхности. Эти знания помогут вам:

1. уверенно решать задачи ЕГЭ по геометрии;
2. понимать геометрический смысл формул;
3. применять полученные знания в практических ситуациях.

При решении задач всегда проверяйте единицы измерения и не забывайте про число π  — его можно оставлять в ответе для точности или заменять приближённым значением 3,14.

Успехов в изучении стереометрии! Помните: практика — ключ к успеху. Решайте больше задач, и формулы запомнятся сами собой.