Сумма и разность кубов

Сегодня мы разберём очень важную и полезную тему — «Сумма и разность кубов». Их изучение начинается в 7-м классе, а применение продолжается на протяжении всего курса школьной алгебры. Эти формулы помогут вам быстро и легко раскладывать сложные выражения на множители, что часто встречается в учебниках по алгебре и на контрольных работах.

После разложения многочлена на множители проще работать с выражениями, решать уравнения и упрощать задачи. В статье мы последовательно изучим формулы, рассмотрим, как они выводятся, и решим практические задания для закрепления материала. 

Рассмотрим две формулы — важно понимать, как они устроены и почему работают:

1. сумма кубов: выражение вида a³ + b³;
2. разность кубов: выражение вида a³ − b³.

Формула суммы кубов

Рассмотрим выражение a³ + b³, разложив его на множители.

Для начала вспомним формулу для разложения разности квадратов:

x² − y² = (x − y)(x + y).

Сумма кубов тоже раскладывается на два множителя:

a³ + b³ = (а + b)( ? )

Теперь разберёмся, что находится в скобках вместо «?».

Если выполнить умножение двух многочленов (a + b)(a² − аb + b²), то получится:

(а + b)(a² − ab + b²) = 

= a⋅a² − a⋅ab + a⋅b² + b⋅a² − b⋅ab + b⋅b² = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³ = a³ + b³

Обратите внимание, что −a²b + a²b = 0 и ab² − ab² = 0, эти слагаемые взаимно уничтожаются.

Поэтому формула суммы кубов имеет вид:

👉 Обратите внимание, что во второй скобке здесь минус и плюс, а в первой только плюс.

Задание на применение формулы суммы кубов

Посмотрим, как применяется изученная формула при решении заданий.

Задание 1. Разложить на множители выражение 64x³+27.

Решение:

1. Представляем каждое слагаемое в виде куба: 64×3 = (4x)3, 27 = 33.
2. Применяем формулу суммы кубов: a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2). В нашем случае: a = 4x, b = 3.
3. Подставляем в формулу и упрощаем: 64×3 + 27 = (4x)3 + 33 = (4x + 3)((4x)2 — (4x)(3) + 32) = (4x + 3)(16×2 — 12x + 9).

Ответ: (4x + 3)(16x² — 12x + 9).

Формула разности кубов

Теперь рассмотрим выражение a³ — b³.

Аналогично предыдущему разложим его на множители вида:

a³ — b³=(a — b)( ? )

Найдём «?» путём умножения двух многочленов и сравнения результата с левой частью:

(a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

На этот раз +a² b−a² b=0 и +ab²−ab²=0 взаимно уничтожаются. Таким образом получаем формулу разности кубов:

👉 Обратите внимание, что во второй скобке здесь плюсы, а в первой минус.

Задание на применение формулы разности кубов

Теперь научимся применять полученную формулу при решении заданий.

Задание 2. Разложить на множители выражение 27x³ − 8.

Решение: 

1. Представляем каждое слагаемое в виде куба: 27×3 = (3x)3, 8 = 23.
2. Применяем формулу разности кубов: a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2). В нашем случае: a = 3x, b = 2.
3. Подставляем в формулу и упрощаем: 27×3 − 8 = (3x)3 − 23 = (3x − 2)((3x)2 + (3x)(2) + 22) = (3x − 2)(9×2 + 6x + 4).

Ответ: (3x − 2)(9x² + 6x + 4)

📝 Сумма и разность кубов: упражнение для самопроверки

А теперь попробуйте самостоятельно решить упражнение по этой теме.

Задание. Разложить на множители:

1. x3 + 125;
2. 64 − y3.

Решение:

1. Применяем формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), где a = x, b = 5:

х³ + 5³ = (x + 5)(x² − x⋅5 + 5²) = (x + 5)(x² − 5x + 25).

2. Применяем формулу разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²), где a = 4, b = y:

4³ − y³ = (4 − y)(4² + 4⋅y + y²) = (4 − y)(16 + 4y + y²).

Ответ:

1. (x + 5)(x² − 5x + 25);

2. (4 − y)(16 + 4y + y²).

Подведём итоги по теме «Сумма и разность кубов»

Мы изучили две важные формулы алгебры:

1. Сумма кубов: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2),
2. Разность кубов: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Они помогают быстро раскладывать выражения на множители, делают тождественные преобразования и решения уравнений более простыми.

Помните: чтобы успешно ими пользоваться, надо много практиковаться!