Треугольник

Треугольник — одна из самых простых, но в то же время важнейших фигур в геометрии. Он встречается повсеместно: от задач на уроках математики до реальных жизненных ситуаций, например, при строительстве или создании различных конструкций. 

В 7-9-х классах изучение треугольников становится ключевым этапом в освоении геометрии. Именно здесь ученики знакомятся с основными понятиями: видами треугольников, их элементами (стороны, углы, высоты, медианы и биссектрисы), а также важными теоремами, такими как теорема Пифагора. Эти знания помогают не только решать задачи на уроках, но и развивают логическое мышление, что важно для понимания более сложных тем в старших классах.

В статье подробно рассматриваем основные свойства треугольников: определение, классификация, теорема Пифагора, медианы, биссектрисы, высоты, средняя линия, периметр, площадь, признаки равенства и подобия, а также свойства вписанной и описанной окружностей.

📎 Треугольник: определение и типы

Каждый треугольник имеет три угла, которые образуются при пересечении его сторон. Сумма всех углов треугольника всегда равна 180°.

📌 Типы треугольников

1. По углам:

1. Остроугольный треугольник: все углы треугольника меньше 90°.
2. Прямоугольный треугольник: один из углов равен 90°. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.
3. Тупоугольный треугольник: один из углов больше 90°.

2. По сторонам:

1. Разносторонний треугольник: все стороны треугольника имеют разную длину.
2. У равнобедренного треугольника: две стороны треугольника равны между собой. Эти стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Углы при основании также равны.
3. Равносторонний треугольник (правильный треугольник): все три стороны треугольника равны. Все углы такого треугольника равны 60°.

📎 Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов равен 90°. Стороны прямоугольного треугольника имеют специальные названия:

1. Катеты — две стороны, которые образуют прямой угол.
2. Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Гипотенуза всегда является самой длинной стороной в прямоугольном треугольнике.

📌 Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°:

1. Если один острый угол равен α, то второй острый угол равен 90° — α.

2. Катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы:

1. Это свойство особенно полезно при решении задач, где один из острых углов треугольника равен 30°.

3. В равнобедренном прямоугольном треугольнике острые углы равны 45°:

1. Если прямоугольный треугольник является равнобедренным (катеты равны), то каждый из острых углов будет равен 45°.

4. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы:

1. Медиана, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам и равна её половине.

5. Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных треугольника:

1. Высота, проведённая к гипотенузе, разбивает исходный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному.

6. Отношение площадей отсечённых треугольников:

1. Площади треугольников, образованных высотой, проведённой к гипотенузе, относятся как квадраты прилежащих катетов.

📌 Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула:
𝑐² = 𝑎² + 𝑏²

Где:

1. 𝑐 — гипотенуза;
2. 𝑎 и 𝑏 — катеты.

Из этой формулы можно выразить длину одного из катетов, если известны гипотенуза и другой катет:
𝑎 = √(𝑐² − 𝑏²);
𝑏 = √(𝑐² − 𝑎²).

📌 Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным.

Формула:
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² ⇒ треугольник прямоугольный.

Где:

1. 𝑐 — наибольшая сторона треугольника (предполагаемая гипотенуза);
2. 𝑎 и 𝑏 — две другие стороны.

✏️ Примеры

Прямая теорема:

Дан прямоугольный треугольник с катетами 𝑎 = 3 и 𝑏 = 4. Найдём гипотенузу 𝑐:
𝑐² = 𝑎² + 𝑏² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
𝑐 = √25 = 5.

Ответ: гипотенуза равна 5.

Обратная теорема:

Дан треугольник со сторонами 𝑎 = 6, 𝑏 = 8, 𝑐 = 10. Проверим, является ли он прямоугольным:
𝑐² = 10² = 100;
𝑎² + 𝑏² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Поскольку 𝑐² = 𝑎² + 𝑏², треугольник является прямоугольным.

Ответ: треугольник прямоугольный.

📎 Медианы треугольника

Медиана — это отрезок, проведённый из вершины угла треугольника к противолежащей стороне и делящий эту сторону пополам.

📌 Основные свойства медиан

1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

1. Эта точка называется центром тяжести треугольника (или центроидом).
2. Она делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины: например, если медиана обозначена как AM , то AO : OM = 2 : 1 , где O — точка пересечения медиан.

2. В равнобедренном треугольнике медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

1. Третья медиана (проведённая к основанию) является одновременно биссектрисой и высотой.

3. В равностороннем треугольнике все три медианы равны друг другу.

4. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

5. Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

1. Это означает, что площади этих треугольников равны.
2. Три медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих треугольников.

📎 Биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол треугольника пополам и соединяет вершину этого угла с противоположной стороной.

📌 Основные свойства биссектрис

1. Точка пересечения биссектрис:

1. Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром треугольника.
2. Инцентр является центром окружности, вписанной в треугольник.

2. Расстояние до сторон треугольника:

1. Любая точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. Это означает, что расстояние от инцентра до всех сторон треугольника одинаково и равно радиусу вписанной окружности.

3. Отношение деления стороны:

1. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон: BD / DC = AB / AC, где AD — биссектриса угла A, а B и C — вершины треугольника.

4. Свойство равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является одновременно медианой и высотой.

5. Свойство равностороннего треугольника:

1. B равностороннем треугольнике все три биссектрисы равны друг другу.

6. Перпендикулярность внешней и внутренней биссектрис:

1. Внутренняя и внешняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг другу.

📎 Высоты треугольника

Высота треугольника — это перпендикуляр, проведённый из вершины угла к противолежащей стороне (или её продолжению). Высоту обычно обозначают буквой h (или H).

📌 Основные свойства высот треугольника

1. Точка пересечения высот:

1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника.
2. Расположение ортоцентра зависит от типа треугольника:
   — в остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри треугольника;
   — в прямоугольном треугольнике ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла;
   — а в тупоугольном треугольнике ортоцентр лежит вне треугольника.

2. Построение высот:

1. Если треугольник остроугольный, то все высоты лежат внутри треугольника.
2. Если треугольник тупоугольный, то две высоты выходят за пределы треугольника и падают на продолжение сторон.

3. Особенности прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами.
2. Третья высота проводится из вершины прямого угла к гипотенузе.

4. Связь высот с площадью треугольника:

1. Высоту треугольника можно найти через площадь:
   h = 2S / a
   где:
   S — площадь треугольника;
   a — сторона, к которой проведена высота.

5. Высота, проведённая из вершины прямого угла:

1. Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на два отрезка m и n. При этом выполняется соотношение:
   h² = m · n,
   где h — высота, проведённая к гипотенузе.

6. Связь между высотой и катетами:

1. Высота, проведённая из вершины прямого угла, связана с катетами следующим образом:
   1 / h² = 1 / a² + 1 / b²,
   где a и b — катеты, а h — высота.

✏️ Пример задачи

Найти высоту треугольника, проведённую к стороне a = 6, если площадь треугольника равна S = 12.

Решение:

Используем формулу:

h = 2S / a.

Подставляем значения:

h = 2 · 12 / 6 = 4.

Ответ: высота равна h = 4.

📎 Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника и параллелен третьей стороне.

📌 Основные свойства средней линии треугольника

1. Параллельность и длина:

1. Средняя линия треугольника всегда параллельна одной из его сторон (стороне, которую она не пересекает).
2. Длина средней линии равна половине длины стороны, которой она параллельна:
   MN = ½ BC,
   где MN — средняя линия, а BC — сторона треугольника.

2. Отсечение подобного треугольника:

1. Средняя линия отсекает от треугольника меньший треугольник, который подобен исходному.
2. Коэффициент подобия равен ½ , а площадь отсечённого треугольника в 4 раза меньше площади исходного:
   S₁ = ¼ S₂,
   где S1 — площадь отсечённого треугольника, S2 — площадь исходного.

3. Три средние линии:

1. В любом треугольнике можно провести три средние линии.
2. Эти линии разделяют треугольник на четыре равновеликих треугольника (треугольники с одинаковой площадью).

✏️ Пример 1
В треугольнике ABC проведена средняя линия MN, соединяющая середины сторон AB и AC . Если длина стороны BC = 8, то длина средней линии MN равна:
MN = ½ BC = ½ ⋅ 8 = 4.

✏️ Пример 2
В треугольнике ABC проведены три средние линии. Площадь исходного треугольника ABC равна 24 . Найдите площадь одного из четырёх треугольников, образованных средними линиями.
Решение:
Площадь каждого из четырёх треугольников равна:
S₁ = ¼ S₂ = ¼ ⋅ 24 = 6.

📎 Периметр и площадь треугольника

👉 Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Формула:

P = a + b + c

где a, b, c — длины сторон треугольника.

👉 Площадь треугольника можно вычислить разными способами в зависимости от известных данных. Вот основные формулы:

1. Через сторону и высоту:

S = ½ · a · hₐ, где: a — сторона треугольника,  hₐ — высота, проведённая к этой стороне.

1. Через две стороны и угол между ними:

S = ½ · a · b · sin(γ), где: a, b — две стороны треугольника, γ — угол между этими сторонами.

1. Формула Герона:

S = √[p · (p — a) · (p — b) · (p — c)], где: p = ½ ⋅ (a + b + c) — полупериметр треугольника, a, b, c — стороны треугольника.

1. Для прямоугольного треугольника:

S = ½ · a · b, где: a, b — катеты прямоугольного треугольника.

1. Для равностороннего треугольника:

S = (a² · √3) / 4, где: a — сторона равностороннего треугольника.

1. Через радиус вписанной окружности:

S = r · p, где: r — радиус вписанной окружности, p = ½ ⋅ (a + b + c) — полупериметр треугольника.

1. Через радиус описанной окружности:

S = (a · b · c) / (4R), где: a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

1. Через высоту, проведённую из вершины прямого угла (для прямоугольного треугольника):

S = (a · b) / c, где: a, b — катеты, c — гипотенуза.

1. Через среднюю линию:

Если треугольник разбит средней линией на два подобных треугольника, то площадь одного из них равна:

S₁ = ¼ · S₂, где: S₂ — площадь исходного треугольника.

📎 Равенство треугольников

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что все их соответствующие стороны и углы совпадут. Это означает, что:

1. соответствующие стороны треугольников равны;
2. соответствующие углы треугольников равны.

👉 Существует два способа доказательства равенства треугольников:

Метод наложения:

1. Для этого нужно приложить один треугольник к другому таким образом, чтобы их стороны и углы совместились.
2. Если все элементы совпадают (три стороны и три угла), то треугольники равны.

Однако метод наложения не всегда удобен, так как требует физического или визуального сравнения всех шести элементов треугольников. Поэтому математики разработали более простые способы — признаки равенства треугольников.

📌 Всего существует три основных признака равенства треугольников:

1. Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.

2. Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам):

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

3. Третий признак равенства треугольников (по трём сторонам):

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

📌 Дополнительные признаки равенства прямоугольных треугольников

Для прямоугольных треугольников существуют ещё четыре дополнительных признака равенства, которые учитывают особенности прямоугольных треугольников (наличие прямого угла, катетов и гипотенузы).

1. По двум катетам:

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, AC = A₁C₁.

2. По катету и прилежащему острому углу:

Если катет и прилежащий острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁.

3. По гипотенузе и острому углу:

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁.

4. По гипотенузе и катету:

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

△ABC = △A₁B₁C₁, если BC = B₁C₁, AB = A₁B₁.

📎 Подобие треугольников

Подобие треугольников — это важное понятие в геометрии, которое описывает связь между треугольниками, имеющими одинаковую форму, но разные размеры. 

Два треугольника называются подобными, если:

1. Их соответствующие углы равны: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

2. Их соответствующие стороны пропорциональны: AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁ = k, где k — это коэффициент подобия.

Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) сторон другого.

📌 Свойства подобных треугольников

1. Отношение периметров:

1. Если два треугольника подобны с коэффициентом k, то их периметры относятся как k: P(△ABC) / P(△A₁B₁C₁) = k.

2. Отношение площадей:

1. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: S(△ABC) / S(△A₁B₁C₁) = k².

3. Соответственные высоты, медианы и биссектрисы:

1. Соответственные элементы подобных треугольников также пропорциональны с коэффициентом k.

📌 Признаки подобия треугольников

Чтобы доказать, что треугольники подобны, не обязательно проверять все углы и стороны. Достаточно использовать один из трёх основных признаков подобия:

1. Первый признак подобия (по двум углам):

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:
   Если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

2. Второй признак подобия (по двум сторонам и углу между ними):

1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны:
   Если AB / A₁B₁ = AC / A₁C₁ и ∠A = ∠A₁, то △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

3. Третий признак подобия (по трём сторонам):

1. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны:
   Если AB / A₁B₁ = BC / B₁C₁ = AC / A₁C₁, то △ABC ∼ △A₁B₁C₁.

📎 Вписанная и описанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника.

1. Центр вписанной окружности называется инцентр.
2. Инцентр является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

1. Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

📌 Свойства вписанной окружности

1. В любой треугольник можно вписать окружность, причём только одну.

2. Радиус вписанной окружности (r) вычисляется по формуле: r = S / p, где: S — площадь треугольника, p = (a + b + c) / 2 — полупериметр треугольника.

3. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности: S = r ⋅ p.

4. Если окружность вписана, то расстояние от центра окружности до любой стороны треугольника равно радиусу r.

5. Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности равен: r = a / (2√3), где a — сторона треугольника.

6. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности равен: r = (a + b − c) / 2, где c — гипотенуза, a и b — катеты.

📌 Свойства описанной окружности

1. Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну.

2. Радиус описанной окружности (R) вычисляется по формуле: R = (a ⋅ b ⋅ c) / (4S), где: a, b, c — стороны треугольника, S — площадь треугольника.

3. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы: R = c / 2, где c — гипотенуза.

4. Расстояние от центра описанной окружности до вершин треугольника равно радиусу R.

5. Для равностороннего треугольника: радиус описанной окружности равен: R = a/√3, где a — сторона треугольника.

6. Для прямоугольного треугольника: центр описанной окружности всегда лежит на гипотенузе.

7. Связь между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей: для любого треугольника: R ≥ 2r.

8. Для равнобедренного треугольника: если треугольник равнобедренный, то центр описанной окружности лежит на высоте, проведённой к основанию.

9. Для тупоугольного треугольника: центр описанной окружности лежит вне треугольника.

10. Для остроугольного треугольника: центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

📌 Дополнительные свойства

1. Формула Эйлера:
Расстояние между центром вписанной (I) и описанной (O) окружностей выражается формулой: d² = R²−2Rr, где: d — расстояние между центрами, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

2. Связь с углами треугольника: для описанной окружности: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R, где A , B , C — углы треугольника, a, b, c — стороны.

3. Положение центров окружностей:

1. Центр вписанной окружности всегда лежит внутри треугольника.
2. Центр описанной окружности может лежать внутри (для остроугольного треугольника), на стороне (для прямоугольного треугольника) или вне треугольника (для тупоугольного треугольника).

📎 Свойства углов и сторон треугольника

1. Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°: 

∠A + ∠B + ∠C = 180°

2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°:

∠A + ∠B = 90°

3. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠внешний = ∠A + ∠B

4. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, а напротив меньшего угла — меньшая сторона:

Если ∠A > ∠B, то BC > AC.

5. Сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны:

a + b > c

b + c > a

a + c > b

6. Теорема синусов
Для любого треугольника отношение стороны к синусу противолежащего угла одинаково и равно диаметру описанной окружности:

a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) = 2R

7. Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

c² = a² + b² — 2ab · cos(γ)

8. Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника)
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c² = a² + b²

9. Катет, лежащий напротив угла 30°
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы:

a = c / 2

10. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.

11. В равностороннем треугольнике все стороны и углы равны, каждый угол равен 60°:

∠A = ∠B = ∠C = 60°

12. Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки m и n, причём:

h² = m · n

13. Медиана делит сторону треугольника пополам. Три медианы пересекаются в одной точке (центре тяжести), которая делит каждую медиану в отношении 2:1.

14. Биссектриса делит угол пополам. Она также делит противоположную сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон.

📋 Памятка с формулами

1. Площадь треугольника

2. Периметр треугольника

3. Теоремы для треугольников

4. Высоты треугольника

5. Медианы треугольника

6. Биссектрисы треугольника

7. Радиусы вписанной и описанной окружностей

8. Средняя линия треугольника

9. Углы треугольника

10. Прямоугольный треугольник

11. Подобие треугольников

12. Окружности и треугольники

13. Свойства равнобедренного треугольника

14. Свойства равностороннего треугольника

Если возникают трудности с пониманием темы, воспользуйтесь материалами статьи или обратитесь за дополнительной помощью к репетиторам нашей онлайн-школы!